三角形ABCにおいて、$a = 5$, $A = 60^\circ$, $C = 45^\circ$ であるとき、辺$c$の長さと外接円の半径$R$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 5$, $A = 60^\circ$, $C = 45^\circ$ であるとき、辺$c$の長さと外接円の半径$R$を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、角Bを求める。

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

$a = 5$, $A = 60^\circ$, $C = 45^\circ$ を代入する。

$\frac{5}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$\frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{2c}{\sqrt{2}} = 2R$

まず、$\frac{10}{\sqrt{3}} = 2R$ より、$R$ を求める。

$2R = \frac{10}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

次に、$\frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{2c}{\sqrt{2}}$ より、$c$ を求める。

$\frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{2c}{\sqrt{2}}$

$2c = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$c = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$c = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

$R = \frac{5\sqrt{3}}{3}$