三角形ABCにおいて、点QとRはそれぞれ辺ABとBCを、図に示された比で内分している。線分AOとORの長さの比 AO:OR を求めよ。ここで、Oは線分ARと線分CQの交点である。比は、AQ:QB = 3:1, BR:RC = 3:2 である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点QとRはそれぞれ辺ABとBCを、図に示された比で内分している。線分AOとORの長さの比 AO:OR を求めよ。ここで、Oは線分ARと線分CQの交点である。比は、AQ:QB = 3:1, BR:RC = 3:2 である。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができる。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \times \frac{BR}{RC} \times \frac{CP}{PA} = 1$

ここで、Pは線分BOとACの交点である。与えられた比を代入すると、

$\frac{3}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{9}{2} \times \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{2}{9}$

よって、AP:PC = 9:2となる。

次に、メネラウスの定理を三角形ABRと直線CQについて適用する。

$\frac{AQ}{QB} \times \frac{BC}{CR} \times \frac{RO}{OA} = 1$

与えられた比を代入すると、BC = BR + RC = 3 + 2 = 5 なので、

$\frac{AQ}{QB} = \frac{3}{1}$

$\frac{BC}{CR} = \frac{5}{2}$

よって、

$\frac{3}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{15}{2} \times \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{15}$

したがって、

$\frac{OA}{RO} = \frac{15}{2}$

AO:OR = 15:2

3. 最終的な答え

15:2