正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$であるとき、$AE = CD$となることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$であるとき、$AE = CD$となることを証明する。

2. 解き方の手順

* $\triangle ABC$は正三角形なので、$\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$

$AB = BC = CA$

* $\angle AFD = 60^\circ$なので、$\angle AFE = 180^\circ - \angle AFD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

* $\triangle AFE$において、$\angle FAE + \angle AFE + \angle AEF = 180^\circ$ より、$\angle AEF = 180^\circ - \angle AFE - \angle FAE = 180^\circ - 120^\circ - \angle BAC + \angle DAE = 180^\circ - 120^\circ - \angle DAE = 60^\circ - \angle DAE$

* 同様に、$\angle DFC = 180^\circ - \angle AFD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

* $\triangle DFC$において、$\angle FDC + \angle DFC + \angle DCF = 180^\circ$ より、$\angle FDC = 180^\circ - \angle DFC - \angle DCF = 180^\circ - 120^\circ - \angle BCA + \angle ACE = 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ + \angle ACE = \angle ACE$

ここで、$\angle AFE = \angle DFC$より、$\angle AFE = 120^\circ$

$\triangle ADC$と$\triangle BEA$において、

$AC = BA$ （正三角形の辺）

$\angle ACD = \angle BAE$ ($60^\circ$)

$\angle CAD = \angle ABE$ ($60^\circ$)

$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD$

$\angle BEA = 180^\circ - \angle ABE - \angle BAE$

$\angle ADC = \angle BEA$

$\triangle ADC$において、$\angle DAC = 60^\circ$

$\triangle BEA$において、$\angle ABE = 60^\circ$

$\angle DAC = 60^\circ - \angle BAD$

$\angle ABE = 60^\circ - \angle CBE$

$\angle DAC = \angle EBA$となる条件は、$\angle BAD = \angle CBE$となるとき

$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ - \angle ACD$

$\angle ACD = \angle BCE$

$\angle BEA = 180^\circ - 60^\circ - \angle BAE$

$\angle BAE = \angle DAE$

$\triangle ADC$と$\triangle BEA$について

AC=BA

$\angle DCA=\angle EAB$

$\angle CAD=\angle EBA$

よって $\triangle ADC \equiv \triangle BEA$

よって、$AE = CD$

3. 最終的な答え

$AE = CD$