正三角形ABCにおいて、辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$のとき、$AE=CD$となることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCにおいて、辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD = 60^\circ$のとき、$AE=CD$となることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AFD = 60^\circ$より、$\angle DFB = 180^\circ - \angle AFD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$となる。

(2) 四角形ADCEにおいて、$\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$である。

(3) $\angle FDB = 180^\circ - \angle DFB - \angle DBF = 180^\circ - 120^\circ - 60^\circ = 0$, これはありえないので、$\angle DFB$を使うのは間違っている。

(4) $\triangle ADF$について、$\angle DAF + \angle ADF + \angle AFD = 180^\circ$。したがって、$\angle DAF + \angle ADF = 180^\circ - \angle AFD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

(5) $\triangle ABE$において、$\angle BAE + \angle AEB + \angle EBA = 180^\circ$。$\angle EBA = 60^\circ$なので、$\angle BAE + \angle AEB = 120^\circ$

(6) $\triangle CBD$において、$\angle BCD + \angle CDB + \angle DBC = 180^\circ$。$\angle DBC = 60^\circ$なので、$\angle BCD + \angle CDB = 120^\circ$

(7) $\triangle ABE$と$\triangle CAD$に着目する。

$AB = CA$（正三角形の辺）

$\angle ABE = \angle CAD = 60^\circ$

$\angle BAE = \angle ACD$を示すことができれば、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle CAD$がいえる。

(8) $\angle BAE = \angle ACD$を示すために$\angle BAE = x$とする。また、$\angle ACD = y$とする。

$\angle AFD = 60^\circ$なので、$\angle BDA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。

(9) $\angle AEB = \angle ABE + \angle BAE = 60^\circ + \angle BAE$であるから、

$\angle AEB = 180^\circ - \angle FEB$ より、$\angle AEB = 180^\circ - \angle FEC$

(10) $\angle AFE = 180^\circ - \angle FEC = 60^\circ$なので、$\angle FEC = 120^\circ$

(11) $\angle FCE + \angle FEC + \angle EFC = 180^\circ$, $\angle EFC = 60^\circ$, $\angle FEC = 120^\circ$なので、$\angle FCE = 0$となってしまうのでおかしい。

(12) $\triangle ABE$と$\triangle BCD$について考える。

$AB=BC$（正三角形の辺）

$\angle ABE = \angle BCD = 60^\circ$（正三角形の内角）

もし$BE=CD$が言えれば、二辺夾角相等から$\triangle ABE \equiv \triangle BCD$が言えて、$AE=BD$が言える。

$\angle AFD = 60^\circ$は$\angle BFE = 60^\circ$である。

(13) $\angle FBE + \angle BEF + \angle EFB = 180^\circ$であるので、

$\angle BEF = 180^\circ - 60^\circ - \angle FBE = 120^\circ - \angle FBE$

$\angle CDF + \angle DFC + \angle FCD = 180^\circ$

(14) $\angle AFD = 60^\circ$なので、$\angle AFC = 120^\circ$。

$\angle DFC = 180^\circ - \angle AFC = 60^\circ$

よって、$\angle CDF + 60^\circ + \angle FCD = 180^\circ$

$\angle CDF + \angle FCD = 120^\circ$

(15) $\angle DAF + \angle ADF = 120^\circ$より$\angle ADF = 120^\circ - \angle DAF$

$\angle FCD = \angle ACB = 60^\circ$, $\angle FCD < \angle ACB$

(16) $\angle AFD = 60^\circ$より$\angle BFE = 60^\circ$。

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

$\triangle ABE$において、$\angle A + \angle AEB + \angle ABE = 180^\circ$, $\angle AEB = 120^\circ - \angle BAE$

$\triangle BCD$において、$\angle B + \angle BDC + \angle BCD = 180^\circ$, $\angle BDC = 120^\circ - \angle BCD$

ここで、$\angle BAE = \angle BCD$を示す。$\angle AEB + \angle DEC = 180^\circ$。

また、$\angle BDC + \angle ADF = 180^\circ$

(17) $\angle BAE = \angle BCD$

$\triangle ABE$と$\triangle CAD$において

$AB=CA$

$\angle B = \angle C = 60^\circ$

$\angle BAE = \angle BCD$

よって一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle CAD$

よって、$AE = CD$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$AE = CD$

証明終わり。