問題は、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$、$\angle ABC = 2\theta$、 $AB = 1$ である直角三角形において、$BC = \cos 2\theta$であるとき、三角形の面積 $S_1$ を$\theta$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

問題は、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$、$\angle ABC = 2\theta$、 $AB = 1$ である直角三角形において、$BC = \cos 2\theta$であるとき、三角形の面積 $S_1$ を$\theta$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の面積の公式を使います。三角形の面積は、$S_1 = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin(2\theta)$で表されます。

$AB = 1$、$BC = \cos 2\theta$ であるので、

$S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times \cos 2\theta \times \sin 2\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta \cos 2\theta$

次に、2倍角の公式$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$を用います。

$S_1 = \frac{1}{2} (2 \sin \theta \cos \theta) \cos 2\theta = \sin \theta \cos \theta \cos 2\theta$

さらに、$\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ を用いると、

$S_1 = \sin \theta \cos \theta (2 \cos^2 \theta - 1)$

3. 最終的な答え

$S_1 = \sin \theta \cos \theta (2 \cos^2 \theta - 1)$