一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発して、辺AB上を毎秒1cmの速さでBまで動く。点Qは点Pと同時にBを出発して、辺BC上を点Pと同じ速さでCまで動く。三角形PBQの面積が8cm$^2$になるのは、点P,Qが出発してから何秒後かを全て求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発して、辺AB上を毎秒1cmの速さでBまで動く。点Qは点Pと同時にBを出発して、辺BC上を点Pと同じ速さでCまで動く。三角形PBQの面積が8cm$^2$になるのは、点P,Qが出発してから何秒後かを全て求める。

2. 解き方の手順

点P, Qが出発してから$x$秒後の状態を考える。

- PBの長さは$10-x$ cm。($0 \le x \le 10$)

- BQの長さは$x$ cm。($0 \le x \le 10$)

三角形PBQの面積は、$PB \times BQ \times \frac{1}{2}$で求められるので、

$\frac{1}{2}(10-x)x = 8$という式が成り立つ。

これを解く。

$\frac{1}{2}(10x - x^2) = 8$

$10x - x^2 = 16$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

$(x-2)(x-8) = 0$

$x = 2, 8$

$0 \le x \le 10$を満たすので、どちらも解として適切である。

3. 最終的な答え

2秒後、8秒後