三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺BC, ACを図のように内分するとき、BO:ORを求めよ。ただし、BC:CQ = 3:1, AC:AR = (2+1):2 = 3:2 とする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺BC, ACを図のように内分するとき、BO:ORを求めよ。ただし、BC:CQ = 3:1, AC:AR = (2+1):2 = 3:2 とする。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を利用して解きます。三角形ARCと直線BOQについて、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BA} = 1$

また、三角形ABCと直線RQについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

図から$AR:RC = 2:1$、$BC:CQ = 3:1$なので、$BC = 3CQ$。

よって、$BQ = BC - CQ = 3CQ - CQ = 2CQ$。

したがって、$CQ:QB = CQ:2CQ = 1:2$

これらの値を代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{BO}{OA} = 1$

$BO = OA$

三角形ACQについて、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{CB}{BQ} \cdot \frac{BO}{OA} \cdot \frac{AR}{RC} = 1$

$\frac{BO}{OR} = \frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CR}{RA} - 1$

$BC:CQ = 3:1$より、$BC = 3x$, $CQ = x$

$AC:AR = 3:2$より、$AC = 3y$, $AR = 2y$

$RC = AC - AR = 3y - 2y = y$

$AR:RC = 2y:y = 2:1$

$BC:CQ = 3x:x = 3:1$

$BQ:QC = 2:1$

三角形ACQと直線BRについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3x}{2x} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OB+OR} = 1$

$3 \cdot \frac{BO}{BO} = 1$

$\frac{BO}{OA} = \frac{1}{3}$

$\frac{AO}{OR} = x$とすると、

三角形BOCと直線ARについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{BA}{AO} \cdot \frac{OR}{RC} \cdot \frac{CA}{AQ} = 1$

三角形ABCと直線RQについてメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$

$BO = OA$

なので、$\frac{AR}{RC} = 2$, $\frac{CB}{BQ} = \frac{3}{2}$, $\frac{QO}{OR} = ?$

チェバの定理より、$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QB} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$なので、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OA} = 1$, $BO=OA$

メネラウスの定理より

$\frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} \cdot \frac{AO}{OB} = 1$

3. 最終的な答え

BO:OR = 3:1