三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。このとき、線分COと線分ORの比CO:ORを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。このとき、線分COと線分ORの比CO:ORを求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

与えられた条件より、$AR:RB = 2:1$, $AQ:QC = 1:1$ なので、$CQ = AQ$。また、$BC = BO + OC$ である。

メネラウスの定理を三角形ABQと直線CRに適用すると

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BC}{1} \cdot \frac{OC}{AO}=1$

$AR/RB=2/1$ $AC/CQ=2/1$なので

$BC = OC + OB$

線分BC上に点Oがあるので、メネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{BR}{RA}=1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{CO}{OB} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CO}{OB} = 2$

次に、メネラウスの定理を三角形ARCと直線BQに適用すると

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA}= 1$

$\frac{AO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} \cdot \frac{RB}{BR} = 1$

$\frac{AO}{OQ} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{AO}{OQ} = 6$

$AO=6OQ$

線分AOを延長して辺BCとの交点をDとする。このとき、△ABOと△ACOについて考える。

チェバの定理を用いて、

$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1$

$\frac{2}{1}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{1}{1}=1$

$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$

線分AOを延長して辺BCとの交点をDとする。このとき△ACOと△ABOについて考える。

メネラウスの定理から、

$\frac{AQ}{QC}\cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BR}{RA}=1$

$1 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=1$

$\frac{CO}{OR} = 6:1$

$CO = 6OR$

3. 最終的な答え

CO:OR = 6:1