三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを1:3に内分し、点Rは辺BCを3:2に内分する。線分AQと線分CRの交点をOとする。このとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを1:3に内分し、点Rは辺BCを3:2に内分する。線分AQと線分CRの交点をOとする。このとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を使って解くことができます。今回はチェバの定理を用いて解きます。

(1) チェバの定理の適用：

点Oは三角形ABCの内部にあるので、チェバの定理が適用できます。チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

ここで、Pは直線BOと辺ACの交点です。問題の図から、$\frac{AQ}{QB} = \frac{3}{1}$、$\frac{BR}{RC} = \frac{3}{2}$なので、

$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{2}{9}$

(2) メネラウスの定理の適用（三角形ABRと直線CQ）：

三角形ABRと直線CQに対してメネラウスの定理を適用します。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

問題より$\frac{AQ}{QB} = \frac{3}{1}$であり、$\frac{BC}{CR} = \frac{5}{2}$です。したがって、

$\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{15}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{2}{15}$

$\frac{OA}{RO} = \frac{15}{2}$

(3) 比の表記：

$AO:OR = 15:2$

3. 最終的な答え

15 : 2