三角形ABCにおいて、AB=8, BC=x, CA=6である。 (1) xのとりうる値の範囲を求めよ。また、三角形ABCが鋭角三角形になるときのxの値の範囲を求めよ。 (2) x=7とする。また、三角形ABCの頂点B, Cから対辺に垂線BD, CEを下ろし、直線BDとCEの交点をFとする。 (i) cos∠BACの値を求めよ。また、線分DEの長さを求めよ。 (ii) 線分AFの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=x, CA=6である。

(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。また、三角形ABCが鋭角三角形になるときのxの値の範囲を求めよ。

(2) x=7とする。また、三角形ABCの頂点B, Cから対辺に垂線BD, CEを下ろし、直線BDとCEの交点をFとする。

(i) cos∠BACの値を求めよ。また、線分DEの長さを求めよ。

(ii) 線分AFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の成立条件より、

$AB + BC > CA$

$BC + CA > AB$

$CA + AB > BC$

であるから、

$8 + x > 6$

$x + 6 > 8$

$6 + 8 > x$

これを解くと

$x > -2$

$x > 2$

$x < 14$

$x$ は正であるから、$2 < x < 14$

三角形ABCが鋭角三角形になるための条件は、$a^2 + b^2 > c^2$ がすべての辺に対して成り立つことです。

$AB^2 + CA^2 > BC^2$

$BC^2 + CA^2 > AB^2$

$AB^2 + BC^2 > CA^2$

$8^2 + 6^2 > x^2$

$x^2 + 6^2 > 8^2$

$8^2 + x^2 > 6^2$

$64 + 36 > x^2$

$x^2 + 36 > 64$

$64 + x^2 > 36$

$100 > x^2$

$x^2 > 28$

$x^2 > -28$

$x < 10$

$x > \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

$x > 0$

したがって、$2\sqrt{7} < x < 10$

(2)

(i) 余弦定理より

$cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 * AB * AC}$

$cos∠BAC = \frac{8^2 + 6^2 - 7^2}{2 * 8 * 6}$

$cos∠BAC = \frac{64 + 36 - 49}{96} = \frac{51}{96} = \frac{17}{32}$

三角形ADEと三角形ABCは相似であるから、

$AD = ABcos∠BAC = 8 * \frac{17}{32} = \frac{17}{4}$

$AE = ACcos∠BAC = 6 * \frac{17}{32} = \frac{51}{16}$

$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$

$DE = BC * \frac{AD}{AB} = 7 * \frac{\frac{17}{4}}{6} = 7 * \frac{17}{24} = \frac{119}{24}$

$DE = \frac{119}{24}$

(ii)

点Fは三角形ABCの垂心である。

三角形ABCの面積Sは

$S = \frac{1}{2} * AB * AC * sin∠BAC$

$sin^2∠BAC + cos^2∠BAC = 1$ より

$sin∠BAC = \sqrt{1 - cos^2∠BAC} = \sqrt{1 - (\frac{17}{32})^2} = \sqrt{1 - \frac{289}{1024}} = \sqrt{\frac{735}{1024}} = \frac{\sqrt{735}}{32} = \frac{\sqrt{49*15}}{32} = \frac{7\sqrt{15}}{32}$

$S = \frac{1}{2} * 8 * 6 * \frac{7\sqrt{15}}{32} = \frac{168\sqrt{15}}{64} = \frac{21\sqrt{15}}{8}$

また、$BC * AD = 2S$

$AD = \frac{2S}{BC} = \frac{2 * \frac{21\sqrt{15}}{8}}{7} = \frac{42\sqrt{15}}{56} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

$AF = \frac{AD}{cos∠FAC} = \frac{AD}{cos(90-∠C)} = \frac{AD}{sin∠C}$

$sin∠C = \frac{AB}{2R}$

$BC/(sin A)=AC/(sin B)=AB/(sin C)=2R$

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 14$、 $2\sqrt{7} < x < 10$

(2) (i) $cos∠BAC = \frac{17}{32}$、$DE = \frac{119}{24}$

(ii) 線分AFの長さ： 詳細は計算できませんでした。