三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCをBQ:QA = 1:3, BR:RC = 3:2の比に内分するとき、線分AOとORの長さの比AO:ORを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺AB, BCをBQ:QA = 1:3, BR:RC = 3:2の比に内分するとき、線分AOとORの長さの比AO:ORを求める問題です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用して解きます。

三角形BCQと直線ARについてメネラウスの定理より、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

与えられた比の値を代入します。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{QO}{OB}$について解きます。

$\frac{QO}{OB} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

よって、

$\frac{OB}{OQ} = 2$

次に、三角形ABRと直線CQについてメネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

与えられた比の値を代入します。

$\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA}$について解きます。

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{2}} = \frac{1}{\frac{15}{2}} = \frac{2}{15}$

したがって、

$\frac{AO}{OR} = \frac{15}{2}$

3. 最終的な答え

AO : OR = 15 : 2