中心O、半径2の円があり、円周を12等分した点のうち、3点A, B, Cが円周上にあり、弧AB:弧BC:弧CA = 3:5:4を満たす。このとき、以下の2つの問題を解きます。 * 問1: ∠AOBの大きさを求める。 * 問2: △ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

中心O、半径2の円があり、円周を12等分した点のうち、3点A, B, Cが円周上にあり、弧AB:弧BC:弧CA = 3:5:4を満たす。このとき、以下の2つの問題を解きます。

* 問1: ∠AOBの大きさを求める。

* 問2: △ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

* 問1: ∠AOBの大きさ

円周は360°であり、円周を12等分しているので、1つの分割された弧に対する中心角は $360^\circ / 12 = 30^\circ$です。

弧ABの長さは全体の3/12なので、弧ABに対する中心角∠AOBは $3 \times 30^\circ = 90^\circ$となります。

* 問2: △ABCの面積

弧AB:弧BC:弧CA = 3:5:4であり、全体は12です。従って、∠AOB = $3/12 \times 360^\circ = 90^\circ$, ∠BOC = $5/12 \times 360^\circ = 150^\circ$, ∠COA = $4/12 \times 360^\circ = 120^\circ$です。

△ABCの面積は、△OAB + △OBC + △OCAで計算できます。各三角形の面積は、$1/2 \times r^2 \times \sin(\theta)$ (rは半径、$\theta$は中心角)で求められます。半径は2なので、$r^2=4$です。

* △OABの面積 = $\frac{1}{2} \times 4 \times \sin(90^\circ) = 2 \times 1 = 2$

* △OBCの面積 = $\frac{1}{2} \times 4 \times \sin(150^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

* △OCAの面積 = $\frac{1}{2} \times 4 \times \sin(120^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

したがって、△ABCの面積 = 2 + 1 + $\sqrt{3}$ = 3 + $\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

* 問1: ∠AOBの大きさ = 90° (e)

* 問2: △ABCの面積 = 3 + $\sqrt{3}$ (b)