$0^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\sin \theta \tan \theta = -\frac{3}{2}$である。$\cos \theta$の値を求め、aからeの選択肢から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

$0^\circ < \theta < 180^\circ$のとき、$\sin \theta \tan \theta = -\frac{3}{2}$である。$\cos \theta$の値を求め、aからeの選択肢から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$なので、$\sin \theta \tan \theta = -\frac{3}{2}$は次のように書き換えられる。

$\sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{2}$

$\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{2}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$なので、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$である。これを上記の式に代入する。

$\frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = -\frac{3}{2}$

$1 - \cos^2 \theta = -\frac{3}{2} \cos \theta$

$2(1 - \cos^2 \theta) = -3 \cos \theta$

$2 - 2\cos^2 \theta = -3 \cos \theta$

$2\cos^2 \theta - 3 \cos \theta - 2 = 0$

$\cos \theta = x$とおくと、

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

$(2x + 1)(x - 2) = 0$

$x = -\frac{1}{2}$または$x = 2$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$または$\cos \theta = 2$

$-1 \le \cos \theta \le 1$なので、$\cos \theta = 2$はありえない。

したがって、$\cos \theta = -\frac{1}{2}$である。

3. 最終的な答え

c. $-\frac{1}{2}$