3点$(-2, -1)$, $(4, -3)$, $(1, 2)$を頂点とする三角形の外接円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

3点$(-2, -1)$, $(4, -3)$, $(1, 2)$を頂点とする三角形の外接円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

外接円の方程式を $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

この円が3点$(-2, -1)$, $(4, -3)$, $(1, 2)$を通るため、以下の3つの式が成り立ちます。

$(-2)^2 + (-1)^2 - 2l - m + n = 0$

$4^2 + (-3)^2 + 4l - 3m + n = 0$

$1^2 + 2^2 + l + 2m + n = 0$

これを整理すると、

$4 + 1 - 2l - m + n = 0 \implies -2l - m + n = -5$ (1)

$16 + 9 + 4l - 3m + n = 0 \implies 4l - 3m + n = -25$ (2)

$1 + 4 + l + 2m + n = 0 \implies l + 2m + n = -5$ (3)

(2) - (1) より $6l - 2m = -20 \implies 3l - m = -10$ (4)

(3) - (1) より $3l + 3m = 0 \implies l + m = 0 \implies l = -m$ (5)

(5)を(4)に代入すると、$3(-m) - m = -10 \implies -4m = -10 \implies m = \frac{5}{2}$

したがって $l = -\frac{5}{2}$

(3)に代入すると、$-\frac{5}{2} + 2(\frac{5}{2}) + n = -5 \implies \frac{5}{2} + n = -5 \implies n = -5 - \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}$

よって、$l = -\frac{5}{2}$, $m = \frac{5}{2}$, $n = -\frac{15}{2}$なので、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 5x + 5y - 15 = 0$

3. 最終的な答え

$2x^2 + 2y^2 - 5x + 5y - 15 = 0$