関数 $y = \sqrt{3x+a}$ の定義域が $x \geq 4$ となるような定数 $a$ の値を求めよ。

代数学関数定義域平方根不等式
2025/7/27

1. 問題の内容

関数 y=3x+ay = \sqrt{3x+a} の定義域が x4x \geq 4 となるような定数 aa の値を求めよ。

2. 解き方の手順

平方根の中身は0以上でなければならないので、3x+a03x + a \geq 0 が成立する必要がある。
したがって、3xa3x \geq -a となる。
xa3x \geq -\frac{a}{3}
問題文より、x4x \geq 4 が定義域なので、xa3x \geq -\frac{a}{3}x4x \geq 4 は同じ範囲を表している必要がある。
したがって、a3=4-\frac{a}{3} = 4 が成り立つ。
この方程式を aa について解くと、
a=12a = -12 となる。

3. 最終的な答え

a=12a = -12

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