与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 3点 $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(3, -2)$ を通る2次関数を求めます。 (2) 軸の方程式が $x = 2$ で、2点 $(1, 3)$, $(4, -3)$ を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 3点 $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(3, -2)$ を通る2次関数を求めます。

(2) 軸の方程式が $x = 2$ で、2点 $(1, 3)$, $(4, -3)$ を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3点 $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(3, -2)$ を通る2次関数を求める場合、一般形 $y = ax^2 + bx + c$ を用います。3点の座標を代入して、3つの連立方程式を立てます。

$-2 = a(-1)^2 + b(-1) + c \Rightarrow a - b + c = -2$

$1 = a(2)^2 + b(2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 1$

$-2 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 9a + 3b + c = -2$

これらの式を解きます。

まず、2番目の式から1番目の式を引きます。

$(4a + 2b + c) - (a - b + c) = 1 - (-2)$

$3a + 3b = 3$

$a + b = 1$ (4)

次に、3番目の式から2番目の式を引きます。

$(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = -2 - 1$

$5a + b = -3$ (5)

式(5)から式(4)を引きます。

$(5a + b) - (a + b) = -3 - 1$

$4a = -4$

$a = -1$

式(4)に $a = -1$ を代入します。

$-1 + b = 1$

$b = 2$

1番目の式に $a = -1$ と $b = 2$ を代入します。

$-1 - 2 + c = -2$

$c = 1$

したがって、$a = -1$, $b = 2$, $c = 1$ なので、求める2次関数は $y = -x^2 + 2x + 1$ です。

(2) 軸の方程式が $x = 2$ なので、2次関数は $y = a(x - 2)^2 + q$ の形をとります。2点 $(1, 3)$, $(4, -3)$ を通るので、これらの座標を代入します。

$3 = a(1 - 2)^2 + q \Rightarrow a + q = 3$ (6)

$-3 = a(4 - 2)^2 + q \Rightarrow 4a + q = -3$ (7)

式(7)から式(6)を引きます。

$(4a + q) - (a + q) = -3 - 3$

$3a = -6$

$a = -2$

式(6)に $a = -2$ を代入します。

$-2 + q = 3$

$q = 5$

したがって、$a = -2$, $q = 5$ なので、求める2次関数は $y = -2(x - 2)^2 + 5 = -2(x^2 - 4x + 4) + 5 = -2x^2 + 8x - 8 + 5 = -2x^2 + 8x - 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x + 1$

(2) $y = -2x^2 + 8x - 3$