関数 $y = -\sqrt{-x+6}$ （$a < x \le 6$）の値域が $-2 \le y \le 0$ となるような定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sqrt{-x+6}$ （$a < x \le 6$）の値域が $-2 \le y \le 0$ となるような定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の定義域を考慮します。根号の中身が0以上である必要があるため、$-x+6 \ge 0$、つまり $x \le 6$ となります。

次に、$x$ の範囲 $a < x \le 6$ における $y$ の範囲が $-2 \le y \le 0$ となるように $a$ の値を決定します。

$x=6$ のとき、$y = -\sqrt{-6+6} = -\sqrt{0} = 0$ となり、$y$ の最大値が0であることがわかります。

$y = -2$ となる $x$ の値を求めます。

$-2 = -\sqrt{-x+6}$

$2 = \sqrt{-x+6}$

両辺を2乗すると、

$4 = -x+6$

$x = 6-4$

$x = 2$

したがって、$y=-2$ のとき、$x=2$ です。

問題文より $a < x \le 6$ と、$x=2$のとき$y=-2$ であるので、定義域は $a < x \le 6$ より $a < 2$となります。また、与えられた値域は $-2 \le y \le 0$ なので、$x=2$ が定義域の最小値になります。

したがって、$a < x \le 6$ であることから、$a=2$は除外されるので$a<2$です。

$x=a$のとき、$y$は$-2$に限りなく近づくはずなので、$a$は2に限りなく近づくので、$a=2$となります。

ここで、 $y = -\sqrt{-x+6}$ は減少関数であり、定義域$a < x \le 6$ に対して、$-2 \le y \le 0$ となるには、$x$ が $a$ に近づくほど $y$ は $-2$ に近づき、$x = 6$ のとき $y = 0$ となる必要があります。

したがって、$x=2$に対応する$y=-2$より、$a=2$となります。

3. 最終的な答え

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