$\theta$ が鋭角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$ であるとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角であり、$\tan \theta = \sqrt{2}$ であるとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係の一つである以下の式を利用します。

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

与えられた $\tan \theta = \sqrt{2}$ を代入します。

$1 + (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$1 + 2 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$3 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

したがって、

$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$。よって、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を利用して、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$

$\tan \theta = \sqrt{2}$ および $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ を代入します。

$\sin \theta = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$