三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をR、辺ACを3:4に内分する点をQとします。線分BQとCRの交点をG、線分AGとBCの交点をPとします。 (1) 点Gが三角形ABCの重心となるときの、頂点A, B, Cにあるおもりの重さを求めます。 (2) AR:RB, BP:PC, AQ:QC, AG:GP, BG:GQ, CG:GR の比を求めます。 (3) $\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表します。

はい、この数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をR、辺ACを3:4に内分する点をQとします。線分BQとCRの交点をG、線分AGとBCの交点をPとします。

(1) 点Gが三角形ABCの重心となるときの、頂点A, B, Cにあるおもりの重さを求めます。

(2) AR:RB, BP:PC, AQ:QC, AG:GP, BG:GQ, CG:GR の比を求めます。

(3) $\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) 点Gが重心であるとき、AG:GP = BG:GQ = CG:GR = 2:1 となります。

点Gが重心であるとき、A, B, Cに置くおもりの重さは等しくなります。したがって、A:B:C = 1:1:1 となります。

(2.1) AR:RB

問題文より、AR:RB = 2:3

(2.2) BP:PC

チェバの定理より、$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{9}{8}$

(2.3) AQ:QC

問題文より、AQ:QC = 3:4

(2.4) AG:GP

メネラウスの定理を三角形ABPと直線CRに適用すると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PG}{GA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{BP+PC}{PC} \cdot \frac{PG}{GA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9+8}{8} \cdot \frac{PG}{GA} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{17}{8} \cdot \frac{PG}{GA} = 1$

$\frac{PG}{GA} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{17} = \frac{12}{17}$

したがって、AG:GP = 17:12

(2.5) BG:GQ

メネラウスの定理を三角形BCQと直線APに適用すると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QG}{GB} = 1$

$\frac{9}{8} \cdot \frac{3+4}{3} \cdot \frac{QG}{GB} = 1$

$\frac{9}{8} \cdot \frac{7}{3} \cdot \frac{QG}{GB} = 1$

$\frac{QG}{GB} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{21}$

したがって、BG:GQ = 21:8

(2.6) CG:GR

メネラウスの定理を三角形ACRと直線BPに適用すると、

$\frac{CP}{PB} \cdot \frac{BA}{AR} \cdot \frac{RG}{GC} = 1$

$\frac{8}{9} \cdot \frac{2+3}{2} \cdot \frac{RG}{GC} = 1$

$\frac{8}{9} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{RG}{GC} = 1$

$\frac{RG}{GC} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{20}$

したがって、CG:GR = 20:9

(3) $\overrightarrow{AG}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表す。

$\overrightarrow{AR} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AQ} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = k \overrightarrow{AG}$とすると、実数s, tが存在して、$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$, $s+t=1$となる。

$BC$上の点Pについて、$\overrightarrow{AP} = \frac{8}{17}\overrightarrow{AB} + \frac{9}{17}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AG} = \frac{17}{12}\overrightarrow{AP}$より、

$\overrightarrow{AG} = \frac{17}{12}(\frac{8}{17}\overrightarrow{AB} + \frac{9}{17}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

3. 最終的な答え

(1) A:B:C = 1:1:1

(2)

(2.1) AR:RB = 2:3

(2.2) BP:PC = 9:8

(2.3) AQ:QC = 3:4

(2.4) AG:GP = 17:12

(2.5) BG:GQ = 21:8

(2.6) CG:GR = 20:9

(3) $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$