半径1の円形の道路があり、円の中心をO、道路上に出発地点をAとする。PさんとQさんは同時にAを出発し、この道路上を正の向きに動く。Qさんの動く速さはPさんの3倍で、Qさんが一周してAに戻るまで2人は動くものとする。Pさんが動いた道のりを $\theta$ とおくとき、OAを原点を中心として正の向きに角アだけ回転させると半直線OQとなる。また、$\angle PAQ$ をイとする。さらに、$\sqrt{3}AP = PQ > 0$ が成り立つのは $\theta = \frac{\text{カ}}{\text{キ}} \pi$ のときであり、点Qが線分APの垂直二等分線上にあるとき、$\theta = \frac{\text{ク}}{\text{ケ}} \pi$ となる。

1. 問題の内容

半径1の円形の道路があり、円の中心をO、道路上に出発地点をAとする。PさんとQさんは同時にAを出発し、この道路上を正の向きに動く。Qさんの動く速さはPさんの3倍で、Qさんが一周してAに戻るまで2人は動くものとする。Pさんが動いた道のりを $\theta$ とおくとき、OAを原点を中心として正の向きに角アだけ回転させると半直線OQとなる。また、$\angle PAQ$ をイとする。さらに、$\sqrt{3}AP = PQ > 0$ が成り立つのは $\theta = \frac{\text{カ}}{\text{キ}} \pi$ のときであり、点Qが線分APの垂直二等分線上にあるとき、$\theta = \frac{\text{ク}}{\text{ケ}} \pi$ となる。

2. 解き方の手順

アについて：

QさんはPさんの3倍の速さで動くので、Pさんが $\theta$ 動いたとき、Qさんは $3\theta$ 動く。OAを原点を中心として正の向きに回転させるとOQになる角度は $3\theta$ である。したがって、アは $3\theta$。

イについて：

円周角の定理より、$\angle PAQ$ は中心角 $\angle POQ$ の半分である。$\angle POQ = |3\theta - \theta| = 2\theta$ なので、$\angle PAQ = \frac{2\theta}{2} = \theta$。したがって、イは $\theta$。

APの長さを求める：

点Aの座標を $(1, 0)$ とすると、点Pの座標は $(\cos\theta, \sin\theta)$。したがって、

$AP^2 = (\cos\theta - 1)^2 + (\sin\theta - 0)^2 = \cos^2\theta - 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta = 2 - 2\cos\theta = 2(1-\cos\theta)$

$AP^2 = 2 - 2 \cos\theta$

したがって、ウ = 2, エ = 2。

PQの長さを求める：

点Qの座標は $(\cos 3\theta, \sin 3\theta)$ なので、

$PQ^2 = (\cos 3\theta - \cos \theta)^2 + (\sin 3\theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 3\theta - 2\cos 3\theta \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 3\theta - 2\sin 3\theta \sin \theta + \sin^2 \theta = 2 - 2(\cos 3\theta \cos \theta + \sin 3\theta \sin \theta) = 2 - 2\cos (3\theta - \theta) = 2 - 2\cos 2\theta = 2(1 - \cos 2\theta)$

$PQ^2 = 2 - 2 \cos(2\theta) = 4\sin^2\theta$

$PQ = 2|\sin \theta|$

$\sqrt{3}AP = PQ > 0$ が成り立つ条件：

$\sqrt{3}AP = PQ$ より、$(\sqrt{3})^2 AP^2 = PQ^2$。

$3(2 - 2\cos \theta) = 2 - 2\cos 2\theta$

$6 - 6\cos \theta = 2 - 2(2\cos^2 \theta - 1) = 2 - 4\cos^2 \theta + 2$

$6 - 6\cos \theta = 4 - 4\cos^2 \theta$

$4\cos^2 \theta - 6\cos \theta + 2 = 0$

$2\cos^2 \theta - 3\cos \theta + 1 = 0$

$(2\cos \theta - 1)(\cos \theta - 1) = 0$

$\cos \theta = \frac{1}{2}, 1$

$\theta = \frac{\pi}{3}, 0$。

$PQ > 0$ より、$\theta \neq 0$。したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$。

カ = 1, キ = 3

点Qが線分APの垂直二等分線上にある条件：

$\angle OAQ = \frac{\theta}{2}$。

$\angle OAQ$ は $\frac{3\theta}{2}$ でもある。したがって、$\frac{3\theta}{2} = \frac{\theta}{2} + n\pi$ ($n$は整数)。

$3\theta = \theta + 2n\pi$

$2\theta = 2n\pi$

$\theta = n\pi$

$n = 0$ のとき、$\theta = 0$。このとき、PとAが一致し、QもAに一致するので垂直二等分線上に点Qは存在しない。

$n = 1$ のとき、$\theta = \pi$。PはAの反対側の点になる。QはAの反対側を3周してまた反対側の点になるので、QはAPの垂直二等分線上に存在する。$\theta = \pi$。

$\angle OQA = \angle OAP$。

$\angle OQA = \pi - 3\theta$

$\angle OAP = \frac{\pi - \theta}{2}$

$\pi - 3\theta = \frac{\pi - \theta}{2}$

$2\pi - 6\theta = \pi - \theta$

$\pi = 5\theta$

$\theta = \frac{\pi}{5}$。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{5}$。ク = 1, ケ = 5。

3. 最終的な答え

ア: $3\theta$

イ: $\theta$

ウ: 2

エ: 2

カ: 1

キ: 3

ク: 1

ケ: 5