円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB=24, BD=21, DA=9, BC=CDである。 (1) 角BAD, 角BAC, BCの値を求める。 (2) 円Oの周上にCE⊥BDとなるような点Eをとる。このとき、CE, 角CBE, 四角形CBEDの面積を求める。

1. 問題の内容

円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB=24, BD=21, DA=9, BC=CDである。

(1) 角BAD, 角BAC, BCの値を求める。

(2) 円Oの周上にCE⊥BDとなるような点Eをとる。このとき、CE, 角CBE, 四角形CBEDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形ABDにおいて余弦定理を用いることで、角BADを求める。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos(BAD)$

$21^2 = 24^2 + 9^2 - 2 \cdot 24 \cdot 9 \cos(BAD)$

$441 = 576 + 81 - 432 \cos(BAD)$

$432 \cos(BAD) = 576 + 81 - 441 = 216$

$\cos(BAD) = \frac{216}{432} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle BAD = 60^{\circ}$ (ウ)

次に、三角形ABDにおいて正弦定理を用いることで、円Oの半径Rを求める。

$\frac{BD}{\sin(BAD)} = 2R$

$\frac{21}{\sin(60^{\circ})} = 2R$

$\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{42}{\sqrt{3}} = \frac{42\sqrt{3}}{3} = 14\sqrt{3}$

$R = 7\sqrt{3}$

次に、BC=CDなので、角CBD=角CDBである。角BCD=2*角BAD=120°。よって、角CBD=(180-120)/2=30°。

角BAC=角BDC=30° (円周角の定理より)。 (イ)

次に、三角形BCDにおいて正弦定理を用いることで、BCを求める。

$\frac{BC}{\sin(CDB)} = 2R$

$\frac{BC}{\sin(30^{\circ})} = 14\sqrt{3}$

$BC = 14\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 14\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 7\sqrt{3}$ (エ)

(2)

CE⊥BDより、三角形BCEは直角三角形である。

$\angle CBE = x$とすると、$\angle BCE = 90^{\circ} - x$である。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、$\angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ}$

$\angle BCD + 60^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle BCD = 120^{\circ}$

また、$\angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^{\circ}$である。

BC=CDなので、$\angle CBD = \angle CDB = (180^{\circ} - 120^{\circ})/2 = 30^{\circ}$

$\angle CBE = \angle CBD + \angle DBE$

$\angle DBE = \angle DAE$。四角形ABCDは円に内接しているので、角BAD+角BCD=180°、角ABC+角ADC=180°

$\angle BCD = 120^{\circ}$

CE⊥BDなので、$\angle BEC = \angle DEC = 90^{\circ}$

$\angle CBE=60^{\circ}$.（ア）

$CE = BC \sin(\angle CBE)$

$CE = 7\sqrt{3} \sin(30) = 7\sqrt{3}$

$CE = 14 \sqrt{3}$

四角形CBEDの面積 = 三角形BCDの面積 + 三角形BDEの面積

三角形BCDの面積 = $\frac{1}{2} BC \cdot CD \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} (7\sqrt{3})^2 \sin(120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 49 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{147\sqrt{3}}{4}$

三角形BDEの面積 = $\frac{1}{2} BD \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 14 \sqrt{3} = 147 \sqrt{3}$

四角形CBEDの面積 = $\frac{147\sqrt{3}}{4} + 147\sqrt{3} = \frac{147\sqrt{3} + 588\sqrt{3}}{4} = \frac{735\sqrt{3}}{4}= 147\sqrt{3}$.(ウ)

3. 最終的な答え

(1) $\angle BAD = 60^{\circ}$ (ウ)、$\angle BAC = 30^{\circ}$ (イ)、$BC = 7\sqrt{3}$ (エ)

(2) $CE = 14\sqrt{3}$ (ア)、$\angle CBE = 30^{\circ}+30^{\circ} = 60^{\circ}$(ア)、四角形CBEDの面積は $147\sqrt{3}$ (ウ)