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三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をR、辺ACを3:4に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をG、線分AGとBCの交点をPとする。 (1) 点Gが三角形ABCの重心となるとき、頂点A, B, Cにあるおもりの重さを求める。 (2) 次の比を求める。AR:RB, BP:PC, AQ:QC, AG:GP, BG:GQ, CG:GR (3) ベクトルAGをベクトルABとベクトルACを用いて表す。

幾何学ベクトル三角形内分チェバの定理メネラウスの定理重心
2025/7/30

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をR、辺ACを3:4に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をG、線分AGとBCの交点をPとする。
(1) 点Gが三角形ABCの重心となるとき、頂点A, B, Cにあるおもりの重さを求める。
(2) 次の比を求める。AR:RB, BP:PC, AQ:QC, AG:GP, BG:GQ, CG:GR
(3) ベクトルAGをベクトルABとベクトルACを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) Gが重心であるとき、重心の定義から各頂点の重さは等しい。したがって、A, B, Cにあるおもりの重さは等しい。
(2)
(2.1) AR:RB
問題文より、AR:RB=2:3AR:RB = 2:3
(2.2) BP:PC
チェバの定理より、
ARRB⋅BPPC⋅CQQA=1\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1
23⋅BPPC⋅43=1\frac{2}{3} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{4}{3} = 1
BPPC=98\frac{BP}{PC} = \frac{9}{8}
よって、BP:PC=9:8BP:PC = 9:8
(2.3) AQ:QC
問題文より、AQ:QC=3:4AQ:QC = 3:4
(2.4) AG:GP
メネラウスの定理を三角形ABPと直線CRに適用すると
ARRB⋅BCCP⋅PGGA=1\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PG}{GA} = 1
23⋅178⋅PGGA=1\frac{2}{3} \cdot \frac{17}{8} \cdot \frac{PG}{GA} = 1
PGGA=2434=1217\frac{PG}{GA} = \frac{24}{34} = \frac{12}{17}
AGGP=1712\frac{AG}{GP} = \frac{17}{12}
よって、AG:GP=17:12AG:GP = 17:12
(2.5) BG:GQ
メネラウスの定理を三角形ACQと直線BPに適用すると
CPPA⋅AGGQ⋅QBBC=1\frac{CP}{PA} \cdot \frac{AG}{GQ} \cdot \frac{QB}{BC} = 1
817⋅GQ+QAGA⋅QBBC=1\frac{8}{17} \cdot \frac{GQ+QA}{GA} \cdot \frac{QB}{BC} = 1
AG = s AB + t ACとおく
BQ = AQ - AB = 3/7AC - AB
CR = AR - AC = 2/5AB - AC
GはBQ上にあるから
AG = k BQ + AB = k(3/7AC - AB) + AB = (1-k) AB + 3/7 k AC
GはCR上にあるから
AG = l CR + AC = l(2/5AB - AC) + AC = 2/5l AB + (1-l) AC
したがって、
1-k = 2/5l
3/7k = 1-l
解くと
k = 35/41
l = 30/41
AG = 6/41AB + 15/41 AC
AG/AQ = 15/41 * 7/3 = 35/41
GQ = 6/41AQ
BG : GQ = (BQ - BG) : GQ
BG = BQ - GQ = BQ - 6/41 BQ = 35/41 BQ
BG : GQ = 35/41 : 6/41 = 35 : 6
(2.6) CG:GR
CG = CR - GR = CR - 30/41 CR = 11/41 CR
GR = 30/41CR
CG : GR = 11 : 30
(3) ベクトルAGをベクトルABとベクトルACを用いて表す。
k=3541,l=3041k = \frac{35}{41}, l = \frac{30}{41}より、
AG⃗=641AB⃗+1541AC⃗\vec{AG} = \frac{6}{41} \vec{AB} + \frac{15}{41} \vec{AC}

3. 最終的な答え

(1) A, B, Cにあるおもりの重さは等しい。
(2)
(2.1) AR:RB = 2:3
(2.2) BP:PC = 9:8
(2.3) AQ:QC = 3:4
(2.4) AG:GP = 17:12
(2.5) BG:GQ = 35:6
(2.6) CG:GR = 11:30
(3) AG⃗=641AB⃗+1541AC⃗\vec{AG} = \frac{6}{41} \vec{AB} + \frac{15}{41} \vec{AC}

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