はい、承知いたしました。いくつか問題を選んで解いてみます。

はい、承知いたしました。いくつか問題を選んで解いてみます。

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1. 問題の内容**

与えられた関数 $f(x)$ の不定積分、すなわち $\int f(x) dx$ を求める問題です。様々な関数が提示されており、それぞれに適した積分手法を用いる必要があります。

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2. 解き方の手順（例）**

例として、いくつかの問題を解いてみます。

**(1) $f(x) = \frac{2x-3}{x^3+x^2-2}$**

この問題は、部分分数分解を用いることが指示されています。

* **ステップ1: 分母の因数分解**

$x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2)$

* **ステップ2: 部分分数分解**

$\frac{2x-3}{(x-1)(x^2+2x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

両辺に $(x-1)(x^2+2x+2)$ をかけると、

$2x-3 = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-1)$

$x=1$ を代入すると、$-1 = 5A$ より $A = -\frac{1}{5}$

展開して整理すると、

$2x-3 = (A+B)x^2 + (2A-B+C)x + (2A-C)$

係数を比較すると、

$A+B=0 \implies B = -A = \frac{1}{5}$

$2A-B+C = 2 \implies C = 2 - 2A + B = 2 + \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{13}{5}$

* **ステップ3: 積分**

$\int f(x) dx = \int \left( -\frac{1}{5(x-1)} + \frac{\frac{1}{5}x+\frac{13}{5}}{x^2+2x+2} \right) dx$

$= -\frac{1}{5} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{5} \int \frac{x+13}{x^2+2x+2} dx$

$= -\frac{1}{5} \ln|x-1| + \frac{1}{5} \int \frac{x+1}{(x+1)^2+1} dx + \frac{12}{5} \int \frac{1}{(x+1)^2+1} dx$

$= -\frac{1}{5} \ln|x-1| + \frac{1}{10} \ln(x^2+2x+2) + \frac{12}{5} \arctan(x+1) + C$

**(2) $f(x) = e^{3x} \sin x$**

この問題は部分積分を2回行うことで解けます。

* **ステップ1: 部分積分**

$I = \int e^{3x} \sin x dx$

$u = \sin x, dv = e^{3x} dx$ とおくと、 $du = \cos x dx, v = \frac{1}{3} e^{3x}$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{3} \int e^{3x} \cos x dx$

* **ステップ2: 部分積分（再び）**

$J = \int e^{3x} \cos x dx$

$u = \cos x, dv = e^{3x} dx$ とおくと、$du = -\sin x dx, v = \frac{1}{3} e^{3x}$

$J = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} \int e^{3x} \sin x dx = \frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} I$

* **ステップ3: 解を求める**

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} e^{3x} \cos x + \frac{1}{3} I)$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x - \frac{1}{9} I$

$\frac{10}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \sin x - \frac{1}{9} e^{3x} \cos x$

$I = \frac{3}{10} e^{3x} \sin x - \frac{1}{10} e^{3x} \cos x + C$

**(6) $f(x) = \frac{x^4}{x^2+1}$**

この問題は、まず分子の次数が分母の次数以上であるため、割り算を行います。

* **ステップ1: 割り算**

$\frac{x^4}{x^2+1} = x^2 - 1 + \frac{1}{x^2+1}$

* **ステップ2: 積分**

$\int \frac{x^4}{x^2+1} dx = \int \left( x^2 - 1 + \frac{1}{x^2+1} \right) dx$

$= \frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C$

**(18) $f(x) = \arctan^{-1} x$**

この問題は、arctan x を部分積分することで解けます。

* ステップ 1：arctan x = 1 * arctan x と考え、部分積分を行う。

$u = \arctan x, dv = 1 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{1+x^2} dx, v = x$

$\int \arctan x dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

* ステップ2：置換積分を行う。

$t = 1 + x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$ より$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t|+C$

* ステップ3：元に戻す。

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

* ステップ4：解を求める。

$\int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

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3. 最終的な答え**

* **(1)** $\int \frac{2x-3}{x^3+x^2-2} dx = -\frac{1}{5} \ln|x-1| + \frac{1}{10} \ln(x^2+2x+2) + \frac{12}{5} \arctan(x+1) + C$

* **(2)** $\int e^{3x} \sin x dx = \frac{3}{10} e^{3x} \sin x - \frac{1}{10} e^{3x} \cos x + C$

* **(6)** $\int \frac{x^4}{x^2+1} dx = \frac{x^3}{3} - x + \arctan(x) + C$

* **(18)** $\int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

他の問題についても同様の手順で解くことができます。