問題2と問題3の導関数を求める問題です。 * 問題2は、$k$ を正の定数として、以下の関数の導関数を求めます。 * (1) $sinh(kx)$ * (2) $cosh(kx)$ * (3) $tanh(kx)$ * 問題3は、以下の関数の導関数を求めます。 * (1) $\frac{x}{log(x)}$ * (2) $tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ * (3) $log(1+tanh(x))$

1. 問題の内容

問題2と問題3の導関数を求める問題です。

* 問題2は、$k$ を正の定数として、以下の関数の導関数を求めます。

* (1) $sinh(kx)$

* (2) $cosh(kx)$

* (3) $tanh(kx)$

* 問題3は、以下の関数の導関数を求めます。

* (1) $\frac{x}{log(x)}$

* (2) $tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$

* (3) $log(1+tanh(x))$

2. 解き方の手順

* **問題2**

* (1) $y = sinh(kx)$ の導関数を求める。

$y' = kcosh(kx)$

* (2) $y = cosh(kx)$ の導関数を求める。

$y' = ksinh(kx)$

* (3) $y = tanh(kx)$ の導関数を求める。

$y' = \frac{k}{cosh^2(kx)} = k sech^2(kx)$

* **問題3**

* (1) $y = \frac{x}{log(x)}$ の導関数を求める。

商の微分公式を用いて、

$y' = \frac{log(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{(log(x))^2} = \frac{log(x) - 1}{(log(x))^2}$

* (2) $y = tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ の導関数を求める。

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$= \frac{1}{1 + \frac{x^2}{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$= \frac{1+x^2}{1+2x^2} \cdot \frac{\frac{1+x^2-x^2}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$= \frac{1+x^2}{1+2x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

$= \frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

* (3) $y = log(1+tanh(x))$ の導関数を求める。

合成関数の微分公式を用いる。

$y' = \frac{1}{1+tanh(x)} \cdot \frac{1}{cosh^2(x)}$

$= \frac{1}{1+\frac{sinh(x)}{cosh(x)}} \cdot \frac{1}{cosh^2(x)} = \frac{cosh(x)}{cosh(x) + sinh(x)} \cdot \frac{1}{cosh^2(x)}$

$= \frac{1}{cosh(x)(cosh(x) + sinh(x))}$

$= \frac{1}{cosh(x)(e^x)}$

$= \frac{e^{-x}}{cosh(x)}$

3. 最終的な答え

* 問題2

* (1) $kcosh(kx)$

* (2) $ksinh(kx)$

* (3) $ksech^2(kx)$

* 問題3

* (1) $\frac{log(x) - 1}{(log(x))^2}$

* (2) $\frac{1}{(1+2x^2)\sqrt{1+x^2}}$

* (3) $\frac{e^{-x}}{cosh(x)}$