広義積分 $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (ここで $n=0, 1, 2, 3, \dots$) について、以下の問いに答えます。 1) 広義積分 $I_n$ が収束することを示します。 2) $I_0$, $I_1$, $I_2$, $I_3$ を求めます。 3) $I_{n+2} - I_n$ を求めます。 4) $I_n$ を求めます（数学的帰納法は不要です）。

1. 問題の内容

広義積分 $I_n = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (ここで $n=0, 1, 2, 3, \dots$) について、以下の問いに答えます。

1) 広義積分 $I_n$ が収束することを示します。

2) $I_0$, $I_1$, $I_2$, $I_3$ を求めます。

3) $I_{n+2} - I_n$ を求めます。

4) $I_n$ を求めます（数学的帰納法は不要です）。

2. 解き方の手順

1) 広義積分 $I_n$ の収束性について

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin(nx)}{\sin x} \to \frac{nx}{x} = n$ となります。したがって、被積分関数は $x=0$ で特異点を持ちません。積分区間 $[0, \pi]$ で被積分関数は連続なので、$I_n$ は収束します。

2) $I_0$, $I_1$, $I_2$, $I_3$ の計算

$I_0 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(0x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{0}{\sin x} dx = 0$.

$I_1 = \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 1 dx = [x]_0^{\pi} = \pi$.

$I_2 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{2\sin x \cos x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2\cos x dx = [2\sin x]_0^{\pi} = 2\sin\pi - 2\sin 0 = 0$.

$I_3 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(3x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} (3 - 4\sin^2 x) dx = \int_0^{\pi} (3 - 2(1-\cos 2x))dx = \int_0^{\pi} (1 + 2\cos 2x) dx = [x + \sin 2x]_0^{\pi} = (\pi + \sin 2\pi) - (0 + \sin 0) = \pi$.

3) $I_{n+2} - I_n$ の計算

$I_{n+2} - I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{2\cos((n+1)x)\sin x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2\cos((n+1)x) dx = [\frac{2}{n+1}\sin((n+1)x)]_0^{\pi} = \frac{2}{n+1}(\sin((n+1)\pi) - \sin(0)) = 0$.

4) $I_n$ の計算

$I_{n+2} - I_n = 0$ より $I_{n+2} = I_n$ が成り立ちます。

したがって、$n$ が偶数のとき $I_n = I_0 = I_2 = I_4 = \dots = 0$,

$n$ が奇数のとき $I_n = I_1 = I_3 = I_5 = \dots = \pi$.

まとめると、

$I_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \pi & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$

3. 最終的な答え

1) 広義積分 $I_n$ は収束する。

2) $I_0 = 0$, $I_1 = \pi$, $I_2 = 0$, $I_3 = \pi$.

3) $I_{n+2} - I_n = 0$.

4) $I_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \pi & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$