次の広義積分の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めます。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^3}}$

1. 問題の内容

次の広義積分の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めます。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^3}}$

2. 解き方の手順

(1)

$x=1$ で被積分関数が定義されないので、広義積分として計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \lim_{b \to 1-0} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$

$u=1-x$ と置換すると、$du=-dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$、$x=b$ のとき $u=1-b$ となります。

よって、

$\int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \int_{1}^{1-b} \frac{-du}{\sqrt{u}} = \int_{1-b}^{1} u^{-1/2} du = [2u^{1/2}]_{1-b}^{1} = 2(1-\sqrt{1-b})$

$\lim_{b \to 1-0} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} = \lim_{b \to 1-0} 2(1-\sqrt{1-b}) = 2(1-0) = 2$

(2)

$x=0$ で被積分関数が定義されないので、広義積分として計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^3}} = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^3}} = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} x^{-3/2} dx$

$\int_{a}^{1} x^{-3/2} dx = [-2x^{-1/2}]_{a}^{1} = -2(1 - \frac{1}{\sqrt{a}}) = \frac{2}{\sqrt{a}} - 2$

$\lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x^3}} = \lim_{a \to +0} (\frac{2}{\sqrt{a}} - 2) = \infty$

したがって、広義積分は発散します。

3. 最終的な答え

(1) 収束し、値は 2

(2) 発散