極限 $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^\circ)}{x}$ を求めよ。ただし、$x^\circ$ は度数法による角度を表し、弧度法に変換する必要がある。

1. 問題の内容

極限 $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^\circ)}{x}$ を求めよ。ただし、$x^\circ$ は度数法による角度を表し、弧度法に変換する必要がある。

2. 解き方の手順

まず、$1^\circ$ を弧度法で表す。180度が$\pi$ラジアンなので、$1^\circ = \frac{\pi}{180}$ ラジアンである。

したがって、$x^\circ = x \cdot \frac{\pi}{180}$ ラジアンとなる。

与えられた極限の式を書き換えると、

$A = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x \cdot \frac{\pi}{180})}{x}$

ここで、$t = x \cdot \frac{\pi}{180}$ とおくと、$x = \frac{180}{\pi} t$ であり、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ となる。

したがって、

$A = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{\frac{180}{\pi} t} = \lim_{t \to 0} \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin(t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$ であるから、

$A = \frac{\pi}{180} \cdot 1 = \frac{\pi}{180}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{180}$