与えられた関数について、指定されたx座標に対応する点における接線の方程式を求める。 (1) $y = 5x^2 - 4x + 3$ の $x = 0$ における接線 (2) $y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ の $x = -1$ における接線

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定されたx座標に対応する点における接線の方程式を求める。

(1) $y = 5x^2 - 4x + 3$ の $x = 0$ における接線

(2) $y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ の $x = -1$ における接線

2. 解き方の手順

接線の方程式は、接点の座標と接線の傾きが分かれば求めることができる。

(1) $y = 5x^2 - 4x + 3$ の場合:

まず、微分して傾きを求める。

$\frac{dy}{dx} = 10x - 4$

$x = 0$ のとき、傾きは

$10(0) - 4 = -4$

$x = 0$ のときの $y$ の値は

$y = 5(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

したがって、接点の座標は $(0, 3)$ であり、接線の傾きは $-4$ である。

接線の方程式は、 $y - y_1 = m(x - x_1)$ より

$y - 3 = -4(x - 0)$

$y = -4x + 3$

(2) $y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ の場合:

まず、微分して傾きを求める。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x + 3$

$x = -1$ のとき、傾きは

$3(-1)^2 + 4(-1) + 3 = 3 - 4 + 3 = 2$

$x = -1$ のときの $y$ の値は

$y = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 3(-1) + 4 = -1 + 2 - 3 + 4 = 2$

したがって、接点の座標は $(-1, 2)$ であり、接線の傾きは $2$ である。

接線の方程式は、 $y - y_1 = m(x - x_1)$ より

$y - 2 = 2(x - (-1))$

$y - 2 = 2(x + 1)$

$y - 2 = 2x + 2$

$y = 2x + 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -4x + 3$

(2) $y = 2x + 4$