関数 $y = x^2 - 2x$ のグラフについて、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) $x=a$に対応する点における接線の方程式を求める。 (2) 点$(0, -4)$を通る接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x$ のグラフについて、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) $x=a$に対応する点における接線の方程式を求める。

(2) 点$(0, -4)$を通る接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x=a$における接線の方程式を求める。

まず、$y = x^2 - 2x$を微分して、導関数を求める。

$y' = 2x - 2$

$x=a$における接線の傾きは$y'(a) = 2a - 2$である。

$x=a$のとき、$y = a^2 - 2a$であるから、接点の座標は$(a, a^2 - 2a)$となる。

したがって、接線の方程式は、

$y - (a^2 - 2a) = (2a - 2)(x - a)$

$y = (2a - 2)x - 2a^2 + 2a + a^2 - 2a$

$y = (2a - 2)x - a^2$

(2) 点$(0, -4)$を通る接線の方程式を求める。

接点を$(t, t^2 - 2t)$とおくと、接線の傾きは$2t - 2$である。

接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2t) = (2t - 2)(x - t)$

これが$(0, -4)$を通るので、

$-4 - (t^2 - 2t) = (2t - 2)(0 - t)$

$-4 - t^2 + 2t = -2t^2 + 2t$

$t^2 - 4 = 0$

$t = \pm 2$

$t = 2$のとき、接点は$(2, 0)$、傾きは$2(2) - 2 = 2$。

接線の方程式は$y - 0 = 2(x - 2)$より、 $y = 2x - 4$

$t = -2$のとき、接点は$(-2, 8)$、傾きは$2(-2) - 2 = -6$。

接線の方程式は$y - 8 = -6(x + 2)$より、$y = -6x - 12 + 8$、$y = -6x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = (2a - 2)x - a^2$

(2) $y = 2x - 4$ , $y = -6x - 4$