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与えられた7つの微分方程式を解く問題です。各式は $dx/dt$ がある関数で表されており、$x$ を $t$ の関数として求めることが目標です。

解析学微分方程式積分
2025/7/30

1. 問題の内容

与えられた7つの微分方程式を解く問題です。各式は dx/dtdx/dt がある関数で表されており、xx を tt の関数として求めることが目標です。

2. 解き方の手順

各微分方程式に対して、変数分離を行い、積分することで解を求めます。
(1) dxdt=asin⁡ωt\frac{dx}{dt} = a \sin{\omega t}
変数分離すると dx=asin⁡ωtdtdx = a \sin{\omega t} dt。
両辺を積分すると、
∫dx=∫asin⁡ωtdt\int dx = \int a \sin{\omega t} dt
x=−aωcos⁡ωt+Cx = -\frac{a}{\omega} \cos{\omega t} + C
(2) dxdt=a−bt\frac{dx}{dt} = \sqrt{a - bt}
変数分離すると dx=a−btdtdx = \sqrt{a - bt} dt。
両辺を積分すると、
∫dx=∫a−btdt\int dx = \int \sqrt{a - bt} dt
x=−23b(a−bt)3/2+Cx = -\frac{2}{3b}(a-bt)^{3/2} + C
(3) dxdt=1a−bt\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{a - bt}}
変数分離すると dx=1a−btdtdx = \frac{1}{\sqrt{a - bt}} dt。
両辺を積分すると、
∫dx=∫1a−btdt\int dx = \int \frac{1}{\sqrt{a - bt}} dt
x=−2ba−bt+Cx = -\frac{2}{b} \sqrt{a - bt} + C
(4) dxdt=ta−bt2\frac{dx}{dt} = \frac{t}{\sqrt{a - bt^2}}
変数分離すると dx=ta−bt2dtdx = \frac{t}{\sqrt{a - bt^2}} dt。
両辺を積分すると、
∫dx=∫ta−bt2dt\int dx = \int \frac{t}{\sqrt{a - bt^2}} dt
x=1ba−bt2+Cx = \frac{1}{b} \sqrt{a - bt^2} + C
(5) dxdt=1a−bt2\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}}
変数分離すると dx=1a−bt2dtdx = \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}} dt。
両辺を積分すると、
∫dx=∫1a−bt2dt\int dx = \int \frac{1}{\sqrt{a - bt^2}} dt
x=1barcsin⁡(bta)+Cx = \frac{1}{\sqrt{b}} \arcsin{\left(\frac{\sqrt{b}t}{\sqrt{a}}\right)} + C
(6) dxdt=a−bx\frac{dx}{dt} = \sqrt{a - bx}
変数分離すると dxa−bx=dt\frac{dx}{\sqrt{a - bx}} = dt。
両辺を積分すると、
∫dxa−bx=∫dt\int \frac{dx}{\sqrt{a - bx}} = \int dt
−2ba−bx=t+C-\frac{2}{b}\sqrt{a - bx} = t + C
a−bx=−b2t−b2C\sqrt{a - bx} = -\frac{b}{2}t - \frac{b}{2}C
a−bx=(b24)t2+(b22)Ct+b24C2a - bx = (\frac{b^2}{4})t^2 + (\frac{b^2}{2})Ct + \frac{b^2}{4}C^2
bx=a−(b24)t2−(b22)Ct−b24C2bx = a - (\frac{b^2}{4})t^2 - (\frac{b^2}{2})Ct - \frac{b^2}{4}C^2
x=ab−b4t2−b2Ct−b4C2x = \frac{a}{b} - \frac{b}{4}t^2 - \frac{b}{2}Ct - \frac{b}{4}C^2
x=ab−b4t2+C′t+C′′x = \frac{a}{b} - \frac{b}{4}t^2 + C't + C''
(7) dxdt=a−bx2\frac{dx}{dt} = \sqrt{a - bx^2}
変数分離すると dxa−bx2=dt\frac{dx}{\sqrt{a - bx^2}} = dt。
両辺を積分すると、
∫dxa−bx2=∫dt\int \frac{dx}{\sqrt{a - bx^2}} = \int dt
1barcsin⁡(xba)=t+C\frac{1}{\sqrt{b}} \arcsin{\left(x\sqrt{\frac{b}{a}}\right)} = t + C
arcsin⁡(xba)=bt+bC\arcsin{\left(x\sqrt{\frac{b}{a}}\right)} = \sqrt{b}t + \sqrt{b}C
xba=sin⁡(bt+C′)x\sqrt{\frac{b}{a}} = \sin{(\sqrt{b}t + C')}
x=absin⁡(bt+C′)x = \sqrt{\frac{a}{b}} \sin{(\sqrt{b}t + C')}

3. 最終的な答え

(1) x=−aωcos⁡ωt+Cx = -\frac{a}{\omega} \cos{\omega t} + C
(2) x=−23b(a−bt)3/2+Cx = -\frac{2}{3b}(a-bt)^{3/2} + C
(3) x=−2ba−bt+Cx = -\frac{2}{b} \sqrt{a - bt} + C
(4) x=1ba−bt2+Cx = \frac{1}{b} \sqrt{a - bt^2} + C
(5) x=1barcsin⁡(bta)+Cx = \frac{1}{\sqrt{b}} \arcsin{\left(\frac{\sqrt{b}t}{\sqrt{a}}\right)} + C
(6) x=ab−b4t2+C′t+C′′x = \frac{a}{b} - \frac{b}{4}t^2 + C't + C''
(7) x=absin⁡(bt+C′)x = \sqrt{\frac{a}{b}} \sin{(\sqrt{b}t + C')}

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