与えられた問題は、次の定積分の極限を求めることです。 $\lim_{r \to \infty} \int_2^r \frac{1}{x^2 - 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分の極限を求めることです。

$\lim_{r \to \infty} \int_2^r \frac{1}{x^2 - 1} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

両辺に$(x-1)(x+1)$を掛けると、

$1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$のとき、$1 = 2A$より、$A = \frac{1}{2}$。

$x = -1$のとき、$1 = -2B$より、$B = -\frac{1}{2}$。

したがって、

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right)$

次に、定積分を計算します。

$\int_2^r \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} \int_2^r \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln|x - 1| - \ln|x + 1| \right]_2^r$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| \right]_2^r$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{r - 1}{r + 1} \right| - \ln \left| \frac{2 - 1}{2 + 1} \right| \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{r - 1}{r + 1} \right| - \ln \left| \frac{1}{3} \right| \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{r - 1}{r + 1} \right| + \ln 3 \right)$

最後に、$r \to \infty$の極限を計算します。

$\lim_{r \to \infty} \int_2^r \frac{1}{x^2 - 1} dx = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{2} \left( \ln \left| \frac{r - 1}{r + 1} \right| + \ln 3 \right)$

$\lim_{r \to \infty} \frac{r - 1}{r + 1} = \lim_{r \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{r}}{1 + \frac{1}{r}} = 1$

したがって、

$\lim_{r \to \infty} \ln \left| \frac{r - 1}{r + 1} \right| = \ln 1 = 0$

よって、

$\lim_{r \to \infty} \int_2^r \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} (0 + \ln 3) = \frac{1}{2} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 3$