与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-|1-x^2|}{x-1+|1-x|}$ (2) $\lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{2x^2+2}}{x+1}$ (3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-|1-x^2|}{x-1+|1-x|}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{2x^2+2}}{x+1}$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 1+0$なので、$x>1$。したがって、$1-x<0$なので、$|1-x|=-(1-x)=x-1$。また、$x>1$なので、$x^2>1$となり、$1-x^2<0$なので、$|1-x^2|=-(1-x^2)=x^2-1$。よって、

\begin{align*} \label{eq:1}\lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-|1-x^2|}{x-1+|1-x|} &= \lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-(x^2-1)}{x-1+(x-1)} \\ &= \lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-x^2+1}{x-1+x-1} \\ &= \lim_{x\to 1+0} \frac{-x^2-x+2}{2x-2} \\ &= \lim_{x\to 1+0} \frac{-(x^2+x-2)}{2(x-1)} \\ &= \lim_{x\to 1+0} \frac{-(x-1)(x+2)}{2(x-1)} \\ &= \lim_{x\to 1+0} \frac{-(x+2)}{2} \\ &= \frac{-(1+2)}{2} = -\frac{3}{2}\end{align*}

(2) $x \to \infty$なので、$x$は十分に大きい。

\begin{align*} \lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{2x^2+2}}{x+1} &= \lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{x^2(2+\frac{2}{x^2})}}{x+1} \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{x+|x|\sqrt{2+\frac{2}{x^2}}}{x+1} \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{x+x\sqrt{2+\frac{2}{x^2}}}{x+1} \qquad (\because x>0) \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{x(1+\sqrt{2+\frac{2}{x^2}})}{x(1+\frac{1}{x})} \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{1+\sqrt{2+\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}} \\ &= \frac{1+\sqrt{2+0}}{1+0} = \frac{1+\sqrt{2}}{1} = 1+\sqrt{2}\end{align*}

(3) $-1 \le \cos x \le 1$なので、$-\frac{1}{x} \le \frac{\cos x}{x} \le \frac{1}{x}$。

$\lim_{x\to \infty} -\frac{1}{x} = 0$、$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$なので、はさみうちの原理より、$\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2}$

(2) $1+\sqrt{2}$

(3) $0$