曲線 $y = x^3 - x$ と、その曲線上の点 $(-1, 0)$における接線が囲む部分の面積 $S$ を求めよ。 画像では点(-1,6)となっていますが、正しくは(-1,0)です。$y = (-1)^3 - (-1) = -1+1 = 0$となるためです。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x$ と、その曲線上の点 $(-1, 0)$における接線が囲む部分の面積 $S$ を求めよ。 画像では点(-1,6)となっていますが、正しくは(-1,0)です。$y = (-1)^3 - (-1) = -1+1 = 0$となるためです。

2. 解き方の手順

(1) 接線を求める

$y = x^3 - x$ を微分すると、

$y' = 3x^2 - 1$

点 $(-1, 0)$ における接線の傾きは、

$y'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

よって、点 $(-1, 0)$ における接線の方程式は、

$y - 0 = 2(x - (-1))$

$y = 2x + 2$

(2) 交点を求める

曲線 $y = x^3 - x$ と接線 $y = 2x + 2$ の交点を求める。

$x^3 - x = 2x + 2$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x + 1)(x + 1)(x - 2) = 0$

$(x + 1)^2 (x - 2) = 0$

したがって、交点は $x = -1, 2$ である。

(3) 面積を求める

求める面積 $S$ は、

$S = \left| \int_{-1}^{2} \{(2x + 2) - (x^3 - x)\} dx \right|$

$S = \left| \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx \right|$

$S = \left| \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-1}^{2} \right|$

$S = \left| \left( -\frac{1}{4}(2)^4 + \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) \right) - \left( -\frac{1}{4}(-1)^4 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 2(-1) \right) \right|$

$S = \left| \left( -4 + 6 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right) \right|$

$S = \left| 6 - \left( -\frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4} \right) \right|$

$S = \left| 6 - \left( -\frac{3}{4} \right) \right|$

$S = \left| 6 + \frac{3}{4} \right|$

$S = \left| \frac{24}{4} + \frac{3}{4} \right|$

$S = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$