以下の2つの広義積分が収束するための実数 $\alpha$ の条件を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{\infty} e^{\alpha x} dx$ (2) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^{\alpha}} dx$

1. 問題の内容

以下の2つの広義積分が収束するための実数 $\alpha$ の条件を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{\alpha x} dx$

(2) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^{\alpha}} dx$

2. 解き方の手順

(1) の場合

$\int_{0}^{\infty} e^{\alpha x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{\alpha x} dx$ を計算します。

$\alpha = 0$ のとき、$\int_{0}^{t} e^{0 x} dx = \int_{0}^{t} 1 dx = t$ となり、$t \to \infty$ で発散します。

$\alpha \neq 0$ のとき、

$\int_{0}^{t} e^{\alpha x} dx = \left[ \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} \right]_{0}^{t} = \frac{1}{\alpha} (e^{\alpha t} - 1)$

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\alpha} (e^{\alpha t} - 1)$ が収束するためには、$\alpha < 0$ である必要があります。

$\alpha < 0$ のとき、$\lim_{t \to \infty} e^{\alpha t} = 0$ となり、$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\alpha} (e^{\alpha t} - 1) = -\frac{1}{\alpha}$ に収束します。

$\alpha > 0$ のとき、$\lim_{t \to \infty} e^{\alpha t} = \infty$ となり、発散します。

(2) の場合

$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^{\alpha}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{1}{x (\log x)^{\alpha}} dx$ を計算します。

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となり、積分範囲は $x: 2 \to t$ に対して $u: \log 2 \to \log t$ となります。

$\int_{2}^{t} \frac{1}{x (\log x)^{\alpha}} dx = \int_{\log 2}^{\log t} \frac{1}{u^{\alpha}} du$

$\alpha = 1$ のとき、$\int_{\log 2}^{\log t} \frac{1}{u} du = \left[ \log u \right]_{\log 2}^{\log t} = \log(\log t) - \log(\log 2)$ となり、$t \to \infty$ で発散します。

$\alpha \neq 1$ のとき、$\int_{\log 2}^{\log t} u^{-\alpha} du = \left[ \frac{1}{1-\alpha} u^{1-\alpha} \right]_{\log 2}^{\log t} = \frac{1}{1-\alpha} ((\log t)^{1-\alpha} - (\log 2)^{1-\alpha})$

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{1-\alpha} ((\log t)^{1-\alpha} - (\log 2)^{1-\alpha})$ が収束するためには、$1 - \alpha < 0$ である必要があります。

$1 - \alpha < 0 \Leftrightarrow \alpha > 1$ のとき、$\lim_{t \to \infty} (\log t)^{1-\alpha} = 0$ となり、$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{1-\alpha} ((\log t)^{1-\alpha} - (\log 2)^{1-\alpha}) = \frac{-(\log 2)^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ に収束します。

$1 - \alpha > 0 \Leftrightarrow \alpha < 1$ のとき、$\lim_{t \to \infty} (\log t)^{1-\alpha} = \infty$ となり、発散します。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha < 0$

(2) $\alpha > 1$