定積分 $\int_{0}^{1} x^2 \log(1+x) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x^2 \log(1+x) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = \log(1+x)$, $dv = x^2 dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x} dx$, $v = \frac{x^3}{3}$ となります。

したがって、

$\int x^2 \log(1+x) \, dx = \frac{x^3}{3} \log(1+x) - \int \frac{x^3}{3(1+x)} \, dx$

右辺の積分を計算するために、被積分関数を多項式と分数に分解します。

$\frac{x^3}{1+x} = x^2 - x + 1 - \frac{1}{1+x}$

よって、

$\int \frac{x^3}{3(1+x)} \, dx = \frac{1}{3} \int (x^2 - x + 1 - \frac{1}{1+x}) \, dx = \frac{1}{3} (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \log(1+x))$

元の積分に戻ると、

$\int x^2 \log(1+x) \, dx = \frac{x^3}{3} \log(1+x) - \frac{1}{3} (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \log(1+x)) + C$

$= \frac{x^3}{3} \log(1+x) - \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{6} - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \log(1+x) + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^2 \log(1+x) \, dx = [\frac{x^3}{3} \log(1+x) - \frac{x^3}{9} + \frac{x^2}{6} - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \log(1+x)]_{0}^{1}$

$= (\frac{1}{3} \log(2) - \frac{1}{9} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \log(2)) - (0 - 0 + 0 - 0 + 0)$

$= \frac{2}{3} \log(2) - \frac{2}{18} - \frac{6}{18} + \frac{3}{18}$

$= \frac{2}{3} \log(2) - \frac{5}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} \log(2) - \frac{5}{18}$