$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1}(2x)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1}(2x)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x=0$を代入すると$\frac{0}{\tan^{-1}(0)} = \frac{0}{0}$となり、不定形となります。

$\tan^{-1}(2x) = \theta$とおくと、$2x = \tan{\theta}$ となり、$x = \frac{\tan{\theta}}{2}$ となります。

また、$x \to 0$のとき$\theta \to 0$となります。

よって、与えられた極限は

$$$$

\lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{\tan{\theta}}{2}}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{2\theta}

$$$$

と書き換えられます。

ここで、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{\theta} = 1$を利用すると、

$$$$

\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{2\theta} = \frac{1}{2} \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

$$$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$