関数 $f(x,y) = x^4 + y^4 + x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2$ が極大値または極小値をとる点が存在するかどうかを調べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y) = x^4 + y^4 + x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2$ が極大値または極小値をとる点が存在するかどうかを調べます。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分を計算する：

関数 $f(x,y)$ の $x$ と $y$ に関する偏微分を求めます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x^3 + 2xy^2 - 4x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4y^3 + 2x^2y - 4y$

(2) 停留点を求める：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ と $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ を満たす点 $(x,y)$ を求めます。

$4x^3 + 2xy^2 - 4x = 0 \implies 2x(2x^2 + y^2 - 2) = 0$

$4y^3 + 2x^2y - 4y = 0 \implies 2y(2y^2 + x^2 - 2) = 0$

$x = 0$ のとき、$2y(2y^2 - 2) = 0 \implies y = 0, \pm 1$

$y = 0$ のとき、$2x(2x^2 - 2) = 0 \implies x = 0, \pm 1$

$2x^2 + y^2 - 2 = 0$ かつ $2y^2 + x^2 - 2 = 0$ のとき、

$2x^2 + y^2 = 2$ と $x^2 + 2y^2 = 2$ を連立して解くと、$x^2 = y^2 = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}, y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$ (複合任意)

したがって、停留点は $(0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0), (\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}), (\sqrt{\frac{2}{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}), (-\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}), (-\sqrt{\frac{2}{3}}, -\sqrt{\frac{2}{3}})$ の9点です。

(3) ヘッセ行列を計算する：

2階偏微分を計算し、ヘッセ行列を作ります。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2 + 2y^2 - 4$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2 + 2x^2 - 4$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 4xy$

ヘッセ行列は

$H = \begin{pmatrix} 12x^2 + 2y^2 - 4 & 4xy \\ 4xy & 12y^2 + 2x^2 - 4 \end{pmatrix}$

(4) ヘッセ行列式を計算する：

ヘッセ行列式 $D = det(H) = (12x^2 + 2y^2 - 4)(12y^2 + 2x^2 - 4) - (4xy)^2$ を計算します。

(5) 各停留点における極値判定を行う：

各停留点について、$D$ の値と $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ の値を調べ、極大値、極小値、または鞍点かどうかを判定します。

- $(0,0)$: $D = (-4)(-4) - 0 = 16 > 0$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -4 < 0$ なので、極大値をとる。

- $(0, \pm 1)$: $D = (2-4)(12-4) - 0 = (-2)(8) = -16 < 0$ なので、鞍点。

- $(\pm 1, 0)$: $D = (12-4)(2-4) - 0 = (8)(-2) = -16 < 0$ なので、鞍点。

- $(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}, \pm \sqrt{\frac{2}{3}})$: $x^2 = y^2 = \frac{2}{3}$ より

$D = (12 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} - 4)(12 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} - 4) - (4 \cdot \frac{2}{3})^2 = (\frac{32}{3} - 4)^2 - (\frac{8}{3})^2 = (\frac{20}{3})^2 - (\frac{8}{3})^2 = \frac{400 - 64}{9} = \frac{336}{9} = \frac{112}{3} > 0$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} - 4 = \frac{32}{3} - 4 = \frac{20}{3} > 0$ なので、極小値をとる。

3. 最終的な答え

関数 $f(x,y) = x^4 + y^4 + x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2$ は、

- $(0,0)$ で極大値をとる。

- $(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}, \pm \sqrt{\frac{2}{3}})$ で極小値をとる。

- $(0, \pm 1)$ と $(\pm 1, 0)$ で鞍点となる。