一辺の長さが4cmの正三角形ABCがある。まず、点Bが点Cに重なるように折り、次に点Aが点Cに重なるように折る。このとき、線分EFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが4cmの正三角形ABCがある。まず、点Bが点Cに重なるように折り、次に点Aが点Cに重なるように折る。このとき、線分EFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* 正三角形ABCの一辺の長さは4cmである。

* 最初に点Bが点Cに重なるように折るので、線分ADは中線となる。したがって、$CD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ cm。

* 次に点Aが点Cに重なるように折るので、線分EFは点Aと点Cの中点を通る線となる。点Aと点Cの中点を通るということは、$AF = FC$となる。

* 三角形EFAと三角形EFCを考えると、$EF$は共通、$AF=FC$、そして折り返した図形であるから$AE=EC$なので、二つの三角形は合同である。したがって、角AFE＝角CFEである。

* 同様に考えると角AEF＝角CEFである。

* 折り返しなので、EFはACを垂直に二等分する。つまり、$EF$は$AC$の中点を通るので、$EF$と$AC$は直交し、$\angle AFE = 90^\circ$ となる。

* 点Dは$BC$の中点であり、点$F$は$AC$の中点である。したがって、$DF$は三角形$ABC$の中点連結定理より、$DF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ cmとなる。さらに、$DF$と$AB$は平行である。

* 点$E$は$AD$の中点なので、$EF$は三角形$ADC$の中点連結定理より、$EF = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ cmとなる。

3. 最終的な答え

1 cm