直方体ABCDEFGHにおいて、$AE = \sqrt{10}$、$AF = 8$、$AH = 10$である。 (ア) $FH$の長さを求めよ。 (イ) $\cos \angle FAH$の値を求めよ。 (ウ) $\triangle AFH$の面積を求めよ。 (エ) $\angle AFH$の二等分線と辺$AH$の交点を$P$、$\angle FAH$の二等分線と辺$FH$の交点を$Q$、線分$FP$と線分$AQ$の交点を$R$とするとき、$R$は$\triangle AFH$の内心、外心、重心のどれであるか。 (オ) $AP$の長さを求めよ。 (カ) $PF:PR$を求めよ。 (キ) 四面体$EAPR$の体積を求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCDEFGHにおいて、$AE = \sqrt{10}$、$AF = 8$、$AH = 10$である。

(ア) $FH$の長さを求めよ。

(イ) $\cos \angle FAH$の値を求めよ。

(ウ) $\triangle AFH$の面積を求めよ。

(エ) $\angle AFH$の二等分線と辺$AH$の交点を$P$、$\angle FAH$の二等分線と辺$FH$の交点を$Q$、線分$FP$と線分$AQ$の交点を$R$とするとき、$R$は$\triangle AFH$の内心、外心、重心のどれであるか。

(オ) $AP$の長さを求めよ。

(カ) $PF:PR$を求めよ。

(キ) 四面体$EAPR$の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) $FH$の長さを求める。

$\triangle AEH$は直角三角形であるから、$EH^2 = AH^2 - AE^2 = 10^2 - (\sqrt{10})^2 = 100 - 10 = 90$。

$EH = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$。

$FH$は長方形$EFGH$の対角線なので、$\triangle EFH$は直角三角形。

$EF = AE = \sqrt{10}$であるから、$FH^2 = EF^2 + EH^2 = (\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{10})^2 = 10 + 90 = 100$。

よって、$FH = \sqrt{100} = 10$。

(イ) $\cos \angle FAH$を求める。

余弦定理より、

$FH^2 = AF^2 + AH^2 - 2AF \cdot AH \cos \angle FAH$

$10^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos \angle FAH$

$100 = 64 + 100 - 160 \cos \angle FAH$

$160 \cos \angle FAH = 64$

$\cos \angle FAH = \frac{64}{160} = \frac{2}{5}$

(ウ) $\triangle AFH$の面積を求める。

$\sin^2 \angle FAH + \cos^2 \angle FAH = 1$より、$\sin^2 \angle FAH = 1 - \cos^2 \angle FAH = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$。

$\sin \angle FAH = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$。

$\triangle AFH = \frac{1}{2} AF \cdot AH \sin \angle FAH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 8 \sqrt{21}$

(エ) $R$が$\triangle AFH$の何であるかを求める。

$AQ$は$\angle FAH$の二等分線であり、$FP$は$\angle AFH$の二等分線である。

したがって、$R$は$\triangle AFH$の内心である。

(オ) $AP$の長さを求める。

角の二等分線の性質より、$AP:PH = AF:FH = 8:10 = 4:5$。

$AP + PH = AH = 10$より、$AP = \frac{4}{4+5} AH = \frac{4}{9} \cdot 10 = \frac{40}{9}$。

(カ) $PF:PR$を求める。

$AR$は$\angle FAH$の二等分線なので、$\triangle AFP$において、角の二等分線の性質から、$PF:PR = AF:AR$

$AP:PH= 4:5$なので、$AP=4x$, $PH=5x$と置くと、$AP+PH = 9x=10$, $x=10/9$なので、$AP = 40/9$, $PH= 50/9$

$\triangle AFH$において、$AQ$は$\angle FAH$の二等分線なので、$FQ:QH=AF:AH=8:10=4:5$

メネラウスの定理より、$AH/HP \cdot PF/FQ \cdot QA/AR = 1$

$\frac{10}{50/9} \cdot \frac{PF}{FQ} \cdot \frac{QA}{AR} =1 \Rightarrow \frac{90}{50} \cdot \frac{PF}{FQ} \cdot \frac{AQ}{AR} =1 \Rightarrow \frac{9}{5} \cdot \frac{PF}{FQ} \cdot \frac{AQ}{AR} =1$

$PF:PR= (AF + FH) : AH = (8 + 10) :10 = 18:10 = 9:5$, よって$PR = 5PF/9$

したがって、$PF:PR = 9:5$、よって $PF:PR= (9/5):1$ なので、$9/5:1$

(キ) 四面体$EAPR$の体積を求める。

四面体EAPRの体積 = 1/3 x (底面積) x (高さ)

底面積 = $\triangle APR$ = $\frac{AR}{AQ} \triangle APQ$ = $\frac{AR}{AQ} \frac{AQ \times AP}{2} \sin (\angle FAH)$ =$\frac{AR}{AQ} AP \times FH = \frac{AR}{AQ} (\frac{40}{9}) \times EF = \frac{AR}{AQ} (\frac{40}{9}) \times \sqrt(10) \sin(\frac{21}{25})$

高さ = AE= $\sqrt(10)$

$AP = \frac{40}{9}$、$\triangle AFH$の面積は $8\sqrt{21}$

AP/AH = 4/9

面積比 $\triangle APR/ \triangle AFH= PR:HF=5:18 \rightarrow \triangle APR = PR/HF \times \triangle AFH= 5/18 \times 8 \sqrt{21}$

四面体$EAPR$の体積 = $\frac{1}{3} AE \times \triangle APR$ = $\frac{1}{3} \sqrt(10) \frac{20 \sqrt(21)}{9}$ = $\frac{20\sqrt(210)}{27}$

3. 最終的な答え

(ア) 10

(イ) 2/5

(ウ) $8\sqrt{21}$

(エ) 内心

(オ) 40/9

(カ) 9/5:1

(キ) $\frac{20\sqrt{210}}{27}$