座標空間内に点 $A(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ があり、点B, C, Dはそれぞれx軸、y軸、z軸上にある。四角形ABCDは同一平面上にあり、かつ平行四辺形である。このとき、以下の問いに答える。 (1) 点B, C, Dの座標を求めよ。 (2) 平行四辺形ABCDの面積を求めよ。 (3) 原点Oから平行四辺形ABCDを含む平面に垂線OHを下ろす。点Hの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間内に点 $A(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ があり、点B, C, Dはそれぞれx軸、y軸、z軸上にある。四角形ABCDは同一平面上にあり、かつ平行四辺形である。このとき、以下の問いに答える。

(1) 点B, C, Dの座標を求めよ。

(2) 平行四辺形ABCDの面積を求めよ。

(3) 原点Oから平行四辺形ABCDを含む平面に垂線OHを下ろす。点Hの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点B, C, Dはそれぞれx軸、y軸、z軸上にあるので、座標を $B(b, 0, 0)$, $C(0, c, 0)$, $D(0, 0, d)$ とおくことができる。

4点A, B, C, Dが同一平面上にあるので、ベクトル $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ が同一平面上にある。つまり、$\vec{AB} = (b - \sqrt{2}, -\sqrt{3}, -\sqrt{6})$, $\vec{AC} = (-\sqrt{2}, c - \sqrt{3}, -\sqrt{6})$, $\vec{AD} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{3}, d - \sqrt{6})$ が一次従属である。したがって、

\[

\begin{vmatrix}

b - \sqrt{2} & -\sqrt{3} & -\sqrt{6} \\

-\sqrt{2} & c - \sqrt{3} & -\sqrt{6} \\

-\sqrt{2} & -\sqrt{3} & d - \sqrt{6}

\end{vmatrix} = 0

\]

これを展開すると、

$(b - \sqrt{2})((c - \sqrt{3})(d - \sqrt{6}) - 6) + \sqrt{3}(-\sqrt{2}(d - \sqrt{6}) - \sqrt{6}\sqrt{2}) - \sqrt{6}(\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}(c - \sqrt{3})) = 0$

$(b - \sqrt{2})(cd - \sqrt{6}c - \sqrt{3}d + \sqrt{18} - 6) + \sqrt{3}(-\sqrt{2}d + \sqrt{12} - 2\sqrt{3}) - \sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2}c - \sqrt{6}) = 0$

$(b - \sqrt{2})(cd - \sqrt{6}c - \sqrt{3}d + 3\sqrt{2} - 6) + \sqrt{3}(-\sqrt{2}d) - \sqrt{6}(\sqrt{2}c) = 0$

$bcd - \sqrt{6}bc - \sqrt{3}bd + 3\sqrt{2}b - 6b - \sqrt{2}cd + \sqrt{12}c + \sqrt{6}d - 6 + \sqrt{6}(-d) - \sqrt{12}c = 0$

$bcd - \sqrt{6}bc - \sqrt{3}bd + 3\sqrt{2}b - 6b - \sqrt{2}cd = 6$

また、平行四辺形ABCDなので、$\vec{AB} = \vec{DC}$ が成り立つ。

$(b - \sqrt{2}, -\sqrt{3}, -\sqrt{6}) = (0 - 0, 0 - c, d - 0)$

これより、$b - \sqrt{2} = 0$, $-\sqrt{3} = -c$, $-\sqrt{6} = d$ となる。

したがって、$b = \sqrt{2}$, $c = \sqrt{3}$, $d = -\sqrt{6}$。

(2) 平行四辺形ABCDの面積は、$\| \vec{AB} \times \vec{AD} \|$ で求められる。

$\vec{AB} = (0, -\sqrt{3}, -\sqrt{6})$, $\vec{AD} = (-\sqrt{2}, -\sqrt{3}, -2\sqrt{6})$

$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -\sqrt{3} & -\sqrt{6} \\ -\sqrt{2} & -\sqrt{3} & -2\sqrt{6} \end{vmatrix} = (6 - 3)\vec{i} - (0 - \sqrt{12})\vec{j} + (0 - \sqrt{6})\vec{k} = 3\vec{i} + 2\sqrt{3}\vec{j} - \sqrt{6}\vec{k}$

$\| \vec{AB} \times \vec{AD} \| = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{6})^2} = \sqrt{9 + 12 + 6} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

(3) 平面ABCDの法線ベクトルは、$\vec{n} = (3, 2\sqrt{3}, -\sqrt{6})$。平面ABCDの方程式は、$3x + 2\sqrt{3}y - \sqrt{6}z + k = 0$。点Aを通るので、$3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{6}\sqrt{6} + k = 0$, $3\sqrt{2} + 6 - 6 + k = 0$, $k = -3\sqrt{2}$。

よって、平面ABCDの方程式は、$3x + 2\sqrt{3}y - \sqrt{6}z - 3\sqrt{2} = 0$。

原点Oから平面ABCDに下ろした垂線の足Hの座標は、$\vec{OH} = t\vec{n} = (3t, 2\sqrt{3}t, -\sqrt{6}t)$。

点Hが平面ABCD上にあるので、$3(3t) + 2\sqrt{3}(2\sqrt{3}t) - \sqrt{6}(-\sqrt{6}t) - 3\sqrt{2} = 0$

$9t + 12t + 6t - 3\sqrt{2} = 0$, $27t = 3\sqrt{2}$, $t = \frac{\sqrt{2}}{9}$。

$\vec{OH} = (\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{9}, -\frac{\sqrt{6}\sqrt{2}}{9}) = (\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{9}, -\frac{2\sqrt{3}}{9})$。

3. 最終的な答え

(1) $B(\sqrt{2}, 0, 0)$, $C(0, \sqrt{3}, 0)$, $D(0, 0, -\sqrt{6})$

(2) $3\sqrt{3}$

(3) $(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{2\sqrt{6}}{9}, -\frac{2\sqrt{3}}{9})$