円の中心をOとする。円周上に点A, B, Cがある。$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 25^\circ$のとき、$\angle AOB$と線分BCの交点を$\theta$とするとき、$\theta$の角度を求めよ。

1. 問題の内容

円の中心をOとする。円周上に点A, B, Cがある。$\angle OAB = 20^\circ$, $\angle ACB = 25^\circ$のとき、$\angle AOB$と線分BCの交点を$\theta$とするとき、$\theta$の角度を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AOB$を求める。三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = 20^\circ$である。したがって、$\angle AOB$は

$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ$

次に、円周角の定理より、$\angle AOB = 2 \angle ACB$である。今回は$\angle ACB = 25^\circ$なので、$\angle AOB$の中心角は$2 \times 25^\circ = 50^\circ$となるはずだが、すでに$\angle AOB = 140^\circ$と求めているため矛盾する。問題文に誤りがあるか、図が正確ではない可能性がある。図が正しいと仮定すると、$\angle ACB$は中心角$\angle AOB$に対する円周角ではない。

$\angle ACB = 25^\circ$より、円周角の定理から、$\angle AOB$の中心角は$2\angle ACB = 2 \times 25^\circ = 50^\circ$である。

三角形OABにおいて、$\angle AOB = 140^\circ$であるから、$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 140^\circ)/2 = 20^\circ$である。

三角形BOCにおいて、$\angle BOC = 2\angle BAC$であり、$\angle BAC$は$\angle OAB + \angle OAC$である。

円の中心角$\angle AOC$は、円周角$\angle ABC$の2倍である。つまり、$2 \angle ABC = \angle AOC$である。$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC$である。

ここで三角形BOCは二等辺三角形なので$\angle OBC = \angle OCB$である。

$\angle BOC = 180^\circ - 2\angle OBC$である。

また、$\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 360^\circ$である。

$\angle AOB = 140^\circ$なので、$140^\circ + \angle BOC + \angle AOC = 360^\circ$

$\angle BOC + \angle AOC = 220^\circ$

$\angle ACB = 25^\circ$なので、$\angle ACO + \angle OCB = 25^\circ$である。

三角形OACにおいて、$\angle OAC = \angle OCA$なので、$2\angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$である。

$\angle AOC = 180^\circ - 2\angle OCA$である。

$\angle OCB = \angle OBC$

三角形BOCにおいて、$\angle BOC = 180^\circ - 2\angle OCB$である。

$180^\circ - 2\angle OCB + 180^\circ - 2\angle OCA = 220^\circ$

$360^\circ - 2(\angle OCB + \angle OCA) = 220^\circ$

$360^\circ - 2(25^\circ) = 220^\circ$

$360^\circ - 50^\circ = 310^\circ \ne 220^\circ$

どこかで矛盾が発生している。

$\angle OBC = x$とすると、$\angle OCB = x$。よって$\angle BOC = 180^\circ - 2x$

$\angle AOC = 360^\circ - \angle AOB - \angle BOC = 360^\circ - 140^\circ - (180^\circ - 2x) = 40^\circ + 2x$

$\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - (40^\circ + 2x))/2 = (140^\circ - 2x)/2 = 70^\circ - x$

$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 70^\circ - x + x = 25^\circ$

$70^\circ = 25^\circ$となるので矛盾。

$\angle AOB = 140^\circ$より、$\angle ACB$は中心角に対する円周角ではない。

$\angle OAB = 20^\circ$より、$\angle AOB = 140^\circ$

$\angle BOC = x$とすると、$\angle COB = 180 - 2(25^\circ) = 130^\circ$

$\angle AOB + \theta + \angle OBC = 180^\circ$

$\angle BOC = 25^\circ + 25^\circ$

3. 最終的な答え

問題文の設定に矛盾があるため、$\theta$の値を求めることができません。