三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{3}$、$BC = 5$、$\angle B = 150^\circ$であるとき、辺ACの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{3}$、$BC = 5$、$\angle B = 150^\circ$であるとき、辺ACの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺ACの長さを求めます。余弦定理は、三角形の2辺の長さとその間の角の余弦から、残りの1辺の長さを求めることができる定理です。

この問題の場合、辺ACの長さは以下の式で求められます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

各値を代入すると、

$AC^2 = (2\sqrt{3})^2 + 5^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos{150^\circ}$

$AC^2 = 12 + 25 - 20\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AC^2 = 37 + 20\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AC^2 = 37 + 10 \cdot 3$

$AC^2 = 37 + 30$

$AC^2 = 67$

したがって、$AC = \sqrt{67}$となります。

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{67}$