四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=9, CD=4, ∠BAD=120°であり、三角形ABDの面積が$5\sqrt{3}$であるとき、以下の値を求める問題です。 (i) ADの長さ (ii) BDの長さ (iii) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、AB=4, BC=9, CD=4, ∠BAD=120°であり、三角形ABDの面積が$5\sqrt{3}$であるとき、以下の値を求める問題です。

(i) ADの長さ

(ii) BDの長さ

(iii) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(i) ADの長さを求める。

三角形ABDの面積は$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle BAD}$で与えられる。

問題文より、三角形ABDの面積は$5\sqrt{3}$である。よって、

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AD \cdot \sin{120^\circ} = 5\sqrt{3}$

$\sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{3} \cdot AD = 5\sqrt{3}$

$AD = 5$

(ii) BDの長さを求める。

余弦定理より、$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$なので、

$BD^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 41 + 20 = 61$

$BD = \sqrt{61}$

(iii) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は$5\sqrt{3}$である。

三角形BCDにおいて、余弦定理より、$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$61 = 9^2 + 4^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot \cos{\angle BCD}$

$61 = 81 + 16 - 72 \cdot \cos{\angle BCD}$

$72 \cdot \cos{\angle BCD} = 81 + 16 - 61 = 36$

$\cos{\angle BCD} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

$\angle BCD = 60^\circ$

三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{\angle BCD}$で与えられる。

$\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

四角形ABCDの面積 = 三角形ABDの面積 + 三角形BCDの面積 = $5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(i) ADの長さ：5

(ii) BDの長さ：$\sqrt{61}$

(iii) 四角形ABCDの面積：$14\sqrt{3}$