(3) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1}{3}(t + \frac{1}{t})$, $y = \frac{1}{3}(t - \frac{1}{t})$ と表される方程式がどのような曲線を表すか答える。 (4) 極座標の方程式 $5r^2 \cos^2 \theta + 4r^2 = 36$ を直交座標 $x, y$ で表し、グラフを描く。 (5) 極が原点Oの極座標に関して、$A(r, \theta) = (8, \frac{\pi}{2})$, $B(r, \theta) = (5, \frac{\pi}{6})$ とする。このとき、(i) $\triangle OAB$ の周の長さ、および (ii) $\triangle OAB$ の面積をそれぞれ求める。 (6) $y = 2x^2 + 2x - 12$ を $y$ 軸に関して対称移動した式を求める。

1. 問題の内容

(3) 媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1}{3}(t + \frac{1}{t})$, $y = \frac{1}{3}(t - \frac{1}{t})$ と表される方程式がどのような曲線を表すか答える。

(4) 極座標の方程式 $5r^2 \cos^2 \theta + 4r^2 = 36$ を直交座標 $x, y$ で表し、グラフを描く。

(5) 極が原点Oの極座標に関して、$A(r, \theta) = (8, \frac{\pi}{2})$, $B(r, \theta) = (5, \frac{\pi}{6})$ とする。このとき、(i) $\triangle OAB$ の周の長さ、および (ii) $\triangle OAB$ の面積をそれぞれ求める。

(6) $y = 2x^2 + 2x - 12$ を $y$ 軸に関して対称移動した式を求める。

2. 解き方の手順

(3)

$x = \frac{1}{3}(t + \frac{1}{t})$ と $y = \frac{1}{3}(t - \frac{1}{t})$ より、$3x = t + \frac{1}{t}$ と $3y = t - \frac{1}{t}$ が得られる。

$(3x)^2 - (3y)^2 = (t + \frac{1}{t})^2 - (t - \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2} - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) = 4$

よって、$9x^2 - 9y^2 = 4$ となる。

これは双曲線を表す。式を整理すると、$\frac{x^2}{4/9} - \frac{y^2}{4/9} = 1$

(4)

$x = r\cos\theta$ と $r^2 = x^2 + y^2$ を与えられた式に代入する。

$5r^2\cos^2\theta + 4r^2 = 36$ より、$5(r\cos\theta)^2 + 4(x^2 + y^2) = 36$ となる。

$5x^2 + 4(x^2 + y^2) = 36$

$5x^2 + 4x^2 + 4y^2 = 36$

$9x^2 + 4y^2 = 36$

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

これは楕円を表す。

(5)

$OA = 8$, $OB = 5$, $\angle AOB = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

余弦定理より、$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos(\frac{\pi}{3}) = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$

(i) 周の長さ $= OA + OB + AB = 8 + 5 + 7 = 20$

(ii) 面積 $= \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \sin(\frac{\pi}{3}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(6)

$y$軸に関して対称移動するには、$x$ を $-x$ に置き換える。

$y = 2(-x)^2 + 2(-x) - 12$

$y = 2x^2 - 2x - 12$

3. 最終的な答え

(3) 双曲線: $\frac{x^2}{4/9} - \frac{y^2}{4/9} = 1$

(4) 楕円: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

(5) (i) 周の長さ: 20, (ii) 面積: $10\sqrt{3}$

(6) $y = 2x^2 - 2x - 12$