半径1の円に内接する三角形のうち、面積が最大となるものを求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する三角形のうち、面積が最大となるものを求める。

2. 解き方の手順

円に内接する三角形の面積を最大化する問題です。

まず、正弦定理を利用して、三角形の面積を角度で表現します。三角形の3つの角を $A, B, C$ とし、円の半径を $R$ とすると、三角形の面積 $S$ は次のように表されます。

$S = \frac{1}{2}ab\sin C$

正弦定理より、$a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$ なので、

$S = \frac{1}{2}(2R\sin A)(2R\sin B)\sin C = 2R^2\sin A\sin B\sin C$

$R = 1$なので、$S = 2\sin A\sin B\sin C$

面積 $S$ を最大化するためには、$\sin A\sin B\sin C$ を最大化すればよい。

$A+B+C = \pi$より、$C = \pi - (A+B)$ なので、

$S = 2\sin A\sin B\sin (A+B)$

$S$を最大化するには、$A = B = C = \pi / 3$、つまり正三角形になる必要があります。（これは相加相乗平均の不等式を利用したり、微分を用いたりして示すことができます。）

よって、三角形が正三角形のとき、面積は最大になります。正三角形の一辺の長さを $a$ とすると、$a = 2R\sin A = 2(1)\sin(\pi/3) = 2(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}$。

正三角形の面積は、$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$。

または、$S = 2\sin A\sin B\sin C = 2\sin(\pi/3)\sin(\pi/3)\sin(\pi/3) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 = 2\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

3. 最終的な答え

半径1の円に内接する三角形のうち、面積が最大になるのは正三角形であり、その面積は$\frac{3\sqrt{3}}{4}$です。