一辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD がある。 (1) A から底面 BCD に下ろした垂線 AH の長さを求める。 (2) 正四面体の体積を求める。 (3) 正四面体の内接球の半径 $r$ を求める。 (4) 正四面体の外接球の半径 $R$ を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の正四面体 ABCD がある。

(1) A から底面 BCD に下ろした垂線 AH の長さを求める。

(2) 正四面体の体積を求める。

(3) 正四面体の内接球の半径 $r$ を求める。

(4) 正四面体の外接球の半径 $R$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正四面体の頂点 A から底面 BCD に下ろした垂線の足 H は、底面 BCD の重心となる。

底面 BCD は正三角形であるから、H は正三角形 BCD の中心に位置する。

正三角形 BCD の一辺の長さは $a$ なので、正三角形 BCD の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ となる。

BH の長さは、正三角形の高さの $\frac{2}{3}$ 倍であるから、

$BH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{3}a$ となる。

三角形 ABH は直角三角形であるから、三平方の定理より、

$AH^2 + BH^2 = AB^2$

$AH^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2 = a^2$

$AH^2 + \frac{3}{9}a^2 = a^2$

$AH^2 = a^2 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{2}{3}a^2$

$AH = \sqrt{\frac{2}{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(2) 正四面体の体積 V は、底面積 $\times$ 高さ $\times$ $\frac{1}{3}$ で求められる。

底面積は正三角形 BCD の面積であるから $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

高さは (1) で求めた $AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

したがって、体積 V は

$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times \frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{18}}{36}a^3 = \frac{3\sqrt{2}}{36}a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(3) 正四面体の体積 V は、4 つの合同な四面体 (底面は正四面体の各面、高さは内接球の半径) に分割できる。

内接球の半径を $r$ とすると、

$V = 4 \times \frac{1}{3} \times (\text{正三角形 BCD の面積}) \times r$

$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times r$

$\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 = \frac{\sqrt{3}}{3}a^2 r$

$r = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 \times \frac{3}{\sqrt{3}a^2} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}a = \frac{\sqrt{6}}{12}a$

(4) 正四面体の外接球の中心を O とする。

OA = OB = OC = OD = R となる。

O から底面 BCD に下ろした垂線の足を K とすると、K は BCD の外心であり重心と一致する。

K は H と一致する。

AH = x とすると、OK = $|x - R|$

三角形 OBK で三平方の定理より、

$OB^2 = OK^2 + BK^2$

$R^2 = (AH-R)^2 + BH^2$

$R^2 = (\frac{\sqrt{6}}{3}a - R)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3}a)^2$

$R^2 = \frac{6}{9}a^2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}aR + R^2 + \frac{3}{9}a^2$

$0 = \frac{9}{9}a^2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}aR$

$\frac{2\sqrt{6}}{3}aR = a^2$

$R = \frac{3a^2}{2\sqrt{6}a} = \frac{3a}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}a}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AH = \frac{\sqrt{6}}{3}a$

(2) $V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$

(3) $r = \frac{\sqrt{6}}{12}a$

(4) $R = \frac{\sqrt{6}}{4}a$