媒介変数 $\theta$ を用いて、$x = \frac{1}{3\cos\theta}$、$y = 4\tan\theta$ で表される曲線の式を $x, y$ で表し、どのような曲線であるかグラフを描いて答える問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて、$x = \frac{1}{3\cos\theta}$、$y = 4\tan\theta$ で表される曲線の式を $x, y$ で表し、どのような曲線であるかグラフを描いて答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{1}{3\cos\theta}$ より、$\cos\theta = \frac{1}{3x}$ であることがわかります。

また、$y = 4\tan\theta$ より、$\tan\theta = \frac{y}{4}$ であることがわかります。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係と、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の関係を利用します。

$\sin\theta = \tan\theta \cos\theta = \frac{y}{4} \cdot \frac{1}{3x} = \frac{y}{12x}$ となります。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入すると、

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\left(\frac{y}{12x}\right)^2 + \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 1

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\frac{y^2}{144x^2} + \frac{1}{9x^2} = 1

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両辺に $144x^2$ をかけると、

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y^2 + 16 = 144x^2

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144x^2 - y^2 = 16

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両辺を $16$ で割ると、

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\frac{x^2}{\frac{16}{144}} - \frac{y^2}{16} = 1

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\frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{16} = 1

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9x^2 - \frac{y^2}{16} = 1

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よって、この曲線は双曲線を表します。

$9x^2-\frac{y^2}{16}=1$ より、$x = \pm \frac{1}{3}$ のとき $y=0$ となり、$x$ の絶対値が$\frac{1}{3}$ 未満の値は取れないことに注意すると、グラフは $x = \pm \frac{1}{3}$ を漸近線とする双曲線になります。

$\cos \theta$ の値域を考えると、$|x| \geq \frac{1}{3}$ である必要があります。

3. 最終的な答え

曲線の式は $144x^2 - y^2 = 16$、または $\frac{x^2}{\frac{1}{9}} - \frac{y^2}{16} = 1$ であり、双曲線を表します。