半径4の円上を動く点AとBがあり、それぞれをX軸とY軸を回転させたガラス板に投影した点CとDについて、以下の問いに答える問題です。 (a) 点C, 点Dの軌跡をグラフに書く。 (b) 点A, 点Bがともに (4, 0) を出発し、同じ角速度で反時計回りに動くとき、CD間の距離は常に一定になる。その距離を求めよ。 (c) 問(b)のとき、CDの中点Eはどのような軌跡を描くか。

1. 問題の内容

半径4の円上を動く点AとBがあり、それぞれをX軸とY軸を回転させたガラス板に投影した点CとDについて、以下の問いに答える問題です。

(a) 点C, 点Dの軌跡をグラフに書く。

(b) 点A, 点Bがともに (4, 0) を出発し、同じ角速度で反時計回りに動くとき、CD間の距離は常に一定になる。その距離を求めよ。

(c) 問(b)のとき、CDの中点Eはどのような軌跡を描くか。

2. 解き方の手順

(a) 点C, 点Dの軌跡

問題文より、点Cの軌跡は楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ であり、点Dの軌跡は楕円 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ であることがわかります。これらの楕円をグラフに描けば良いです。

(b) CD間の距離

点Aの座標を $(4\cos\theta, 4\sin\theta)$ とすると、点Cの座標は $(4\cos\theta, 3\sin\theta)$ となります。

同様に、点Bの座標を $(4\cos\theta, 4\sin\theta)$ とすると、点Dの座標は $(3\cos\theta, 4\sin\theta)$ となります。

CD間の距離を $d$ とすると、

$d^2 = (4\cos\theta - 3\cos\theta)^2 + (3\sin\theta - 4\sin\theta)^2 = (\cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

したがって、$d = \sqrt{1} = 1$

(c) CDの中点Eの軌跡

点Eの座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{4\cos\theta + 3\cos\theta}{2} = \frac{7}{2}\cos\theta$

$y = \frac{3\sin\theta + 4\sin\theta}{2} = \frac{7}{2}\sin\theta$

したがって、$\cos\theta = \frac{2}{7}x$ かつ $\sin\theta = \frac{2}{7}y$

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ より、

$(\frac{2}{7}x)^2 + (\frac{2}{7}y)^2 = 1$

$\frac{4}{49}x^2 + \frac{4}{49}y^2 = 1$

$x^2 + y^2 = \frac{49}{4}$

これは中心が原点、半径が $\frac{7}{2}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(a) 点Cの軌跡: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ の楕円。点Dの軌跡: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ の楕円。

(b) CD間の距離: 1

(c) CDの中点Eの軌跡: $x^2 + y^2 = \frac{49}{4}$ の円。