媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1}{3}(t + \frac{1}{t})$ および $y = \frac{1}{3}(t - \frac{1}{t})$ と表される方程式がどのような曲線を表すか答えよ。

## 問題(3)

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1}{3}(t + \frac{1}{t})$ および $y = \frac{1}{3}(t - \frac{1}{t})$ と表される方程式がどのような曲線を表すか答えよ。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ の式から $t$ を消去することを試みます。

まず、$3x = t + \frac{1}{t}$ および $3y = t - \frac{1}{t}$ が得られます。

これらの式をそれぞれ二乗すると、

$9x^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

$9y^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$

となります。

これらの式を引き算することで、$t$ を消去できます。

$9x^2 - 9y^2 = (t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}) - (t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}) = 4$

したがって、$9x^2 - 9y^2 = 4$ となります。

両辺を 4 で割ると、

$\frac{9x^2}{4} - \frac{9y^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{(2/3)^2} - \frac{y^2}{(2/3)^2} = 1$

これは双曲線の方程式であり、$a = \frac{2}{3}$, $b = \frac{2}{3}$ であり、中心が原点、焦点が $x$ 軸上にある双曲線です。

3. 最終的な答え

双曲線 $\frac{x^2}{(2/3)^2} - \frac{y^2}{(2/3)^2} = 1$