媒介変数 $t$ によって、$x = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$, $y = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ と表される曲線が双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ ($x > 0$) であることを証明する。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ によって、$x = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$, $y = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ と表される曲線が双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ ($x > 0$) であることを証明する。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ がそれぞれ $t$ で媒介変数表示されているので、$x^2 - y^2$ を計算し、それが 1 になることを示す。

まず、$x^2$ と $y^2$ を計算する。

$x^2 = \left(\frac{e^t + e^{-t}}{2}\right)^2 = \frac{(e^t + e^{-t})^2}{4} = \frac{e^{2t} + 2e^t e^{-t} + e^{-2t}}{4} = \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t}}{4}$

$y^2 = \left(\frac{e^t - e^{-t}}{2}\right)^2 = \frac{(e^t - e^{-t})^2}{4} = \frac{e^{2t} - 2e^t e^{-t} + e^{-2t}}{4} = \frac{e^{2t} - 2 + e^{-2t}}{4}$

したがって、

$x^2 - y^2 = \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t}}{4} - \frac{e^{2t} - 2 + e^{-2t}}{4} = \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t} - (e^{2t} - 2 + e^{-2t})}{4} = \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t} - e^{2t} + 2 - e^{-2t}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

よって、$x^2 - y^2 = 1$ が成り立つ。

また、$x = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$ であり、$e^t > 0$ および $e^{-t} > 0$ であるから、$x > 0$ である。

3. 最終的な答え

$x^2 - y^2 = 1$ ($x > 0$) であることが証明された。